Konvergenz einer alternierenden Reihe

Neue Frage »

23.01.2010, 13:21	Hanzzz	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer alternierenden Reihe Mein Problem: Ermittle, für welche ganzen Zahlen p die Reihe: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=2}^\infty (-1)^{n-1}\frac{(ln(n))^{p}}{n} \end{eqnarray}$ konvergiert. Mein erster Ansatz war das Quotientenkriterium, da kam ich allerdings auf keine gültige Aussage. Mein zweiter Versuch war dann das Leibnitz-Kriterium. Dies besagt ja, dass jede alternierende Reihe konvergent ist, wenn die Beträge der Reihenglieder eine Nullfolge bilden... $\begin{eqnarray} a_{n+1} < a_{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{(ln(n+1))^p}{n+1} < \frac{(ln(n))^p}{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\frac{ln(n+1)}{ln(n)})^p < 1+\frac{1}{n} \end{eqnarray}$ Meine Überlegung war jetzt wenn n größer wird, geht der Bruch gegen 1 und ich erhalte eine gültige Ausssage. Setzte ich jedoch den Startwert der Reihe ein, bei dem der Bruch den größten Wert annimmt, komme ich auf: $\begin{eqnarray} 1,58^p < 1,5 \end{eqnarray*}$ Für positive p komm ich da auf keinen grünen Zweig, kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben, ob ich mich auf der richtigen Spur befinde, oder ob meine Überlegungen haken.. Beste Grüße
23.01.2010, 14:00	kolto	Auf diesen Beitrag antworten »
was du da zeiugen willst ist doch dass es monoton sinkt, dann ist es aber noch lange keine nullfolge, oder?
23.01.2010, 14:02	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer alternierenden Reihe $\begin{eqnarray} a_{n+1}< a_n \end{eqnarray}$ sagt nicht aus, dass die folge $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ eine nullfolge ist, nur dass sie monoton fallend ist. du musst $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } a_n \end{eqnarray}$ betrachten der muss null werden.....
23.01.2010, 14:04	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Für welches p konvergiert die Reihe
23.01.2010, 17:47	Hanzzz	Auf diesen Beitrag antworten »
hab mir das nochmal durch den kopf gehen lassen, aber trotzdem komm ich nicht weiter. Ich betrachte, ob die Folge eine Nullfolge ist: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } (ln(n)n^{-\frac{1}{p}})^p \end{eqnarray}$ ich würde sagen, $\begin{eqnarray} n^{\frac{1}{p}} \end{eqnarray*}$ wächst schneller wie ln(n), dass heisst der Term geht gegen 0. confused..
23.01.2010, 18:00	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Sagen kann man viel - es ist nötig, es auch hieb- und stichfest nachzuweisen. Vor allem, dass nicht nur einfache Konvergenz gegen Null erfolgt, sondern dass diese Folge (zumindest ab einem Index) monoton fallend gegen Null strebt. Eine Betrachtung der Ableitung (der Funktion im verlinkten Thread) kann dabei hilfreich sein.
Anzeige

23.01.2010, 18:59	Hanzzz	Auf diesen Beitrag antworten »
hab ich auch bereits versucht und die Regel von l´hospital angewendet (da $\begin{eqnarray} \frac{\infty }{\infty } \end{eqnarray}$ ) und dann komm ich nach ableiten auf folgenden Term: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \frac{p}{nn^{\frac{1-p}{p} } } \end{eqnarray*}$ und dieser geht gegen 0....
24.01.2010, 09:42	Hanzzz	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die Nullfolge wäre mM. nach bewiesen, aber nun?
24.01.2010, 10:03	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Nochmal: Die Ableitung kann man durchaus auch dazu nutzen, die Monotonie der Folge nachzuweisen.
24.02.2010, 19:41	Hanzzz	Auf diesen Beitrag antworten »
Dieses Beispiel verfolgt mich ein wenig und ganz verstanden hab ichs immer noch nicht. Nochmals die Angabe: Ermittle, für welche ganzen Zahlen p die Reihe: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=2}^\infty (-1)^{n-1}\frac{(ln(n))^{p}}{n} \end{eqnarray}$ konvergiert. Alternierende Reihe -> Leibnitz-Kriterium -> monoton fallend? Beweis mittels Ableitung der Funktion: f(x)= $\begin{eqnarray} \frac{(ln(x))^{p} }{x} \end{eqnarray}$ f´(x)= $\begin{eqnarray} \frac{p(ln(x))^{p-1}-(ln(x))^{p}}{x^{2}}=\frac{(ln(x))^{p-1}(p-ln(x))}{x^{2}}<0 \end{eqnarray}$ Ableitung negativ, damit monoton fallend, dies ist der Fall wenn Wert in zweiter Klammer in Zähler negativ, dass heißt x> $\begin{eqnarray} e^{p} \end{eqnarray*}$ Dass heißt dass die Reihe für alle p konvergiert, Unterschied ist nur ab wann. Kann mir jemand sagen, ob meine Überlegungen jetzt stimmen? Vielen Dank!!
24.02.2010, 20:57	Hanzzz	Auf diesen Beitrag antworten »
Keiner eine Idee?
24.02.2010, 21:16	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Jop. Damit ist übrigens auch der Grenzwert 0 kein Problem. Dazu betrachtest du $\begin{eqnarray} a_n=\frac{\ln(n)^{p+1}}{n} \end{eqnarray}$ , welches beschränkt ist und nutzt das um $\begin{eqnarray} b_n=\frac{\ln(n)^{p}}{n} \end{eqnarray}$ geeignet abzuschätzen.

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenz einer alternierenden Reihe

Verwandte Themen