Für welche Werte ist das Gleichungssystem nicht lösbar?

23.01.2010, 13:32

bandchef

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Für welche Werte ist das Gleichungssystem nicht lösbar?

Hi!

Für welche Werte ist das Gleichungssystem nicht lösbar?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \\ -1 & u & 1 \end{pmatrix}\vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ v \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was muss ich denn da tun? Mich stört vor allem das NICHT lösbiar... Nicht lösbar sind doch Gleichungssystem die linear Abhängig sind... Aber was bringt mir das jetzt? Ich hab leider keine Ahnung!

Ich hoffe ihr könnt ihr mir weiterhelfen?

danke, bandchef

23.01.2010, 13:35

lgrizu

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RE: Für welche Werte ist das Gleichungssystem nicht lösbar?
wieso stört dich das nicht lösbar?
für welche werte ist es denn lösbar?
bringe die erweiterte Matrix auf zeilenstufenform und schaue, für welche u,v es keine lösung gibt.

23.01.2010, 13:37

bandchef

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Ich weiß einfach nicht was ich mit dem hier jetzt machen soll! Soll ich determinante ausrechnen? wie bring ich denn überhaupt raus mit welchen werten sie lösbar ist? was ist eine zeilenstufenform?

23.01.2010, 13:40

lgrizu

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ach so,
Schulmathe, nicht darauf geachtet.....

kennst du das gauss-verfahren?

23.01.2010, 13:40

bandchef

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ja das kenne ich...

23.01.2010, 13:42

lgrizu

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dann solltest du auch wissen, was eine zeilenstufenform ist, das ist die form der matrix, wo oberhalb oder unterhalb der diagonalen nullen sind.

addiere mal die ertse Zeile zur zweiten und die erste zeile zur dritten, was erhälst du dann?

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23.01.2010, 13:44

bandchef

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gibt es hierzu auch noch eine andere lösungsmöglichkeit als das gaußverfahren?

23.01.2010, 13:48

lgrizu

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wieso?
du machst einen Schritt und siehst die lösung....
viel einfacher, als gauss zum lösen von LGS gehts nich.....

edit: naja, zwei schritte, oder zwei in eins.....

23.01.2010, 13:51

bandchef

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ich hab jetzt deine zwei schritte gemacht und in der mittleren zeile jetzt 3 nullen

23.01.2010, 13:56

lgrizu

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wie sieht deine Matrix denn jetzt aus?
ich habe dir die beiden Schritte auch schon vorgegegben....
ich glaube du hast da was falsch gemacht....

23.01.2010, 15:07

bandchef

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sorry aber ich komm auf das ergebnis nicht. kannst du mir den gauß vielleicht nochmal genau erklären?

23.01.2010, 15:28

lgrizu

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Gauss ist eigentlich ganz einfach, du addierst das vielfache einer Zeile(Spalte) zu dem vielfachen einer anderen Zeile(Spalte), das ziel ist es, unterhalb der diagonalen nullen zu erzeugen.

wir betarchten mal deine (erweiterte) Matrix:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 &| -2 \\ -1 & 0 & 2 & | -4\\ -1 & u & 1 &| v\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nun addieren wir die erste zeile zur zweiten, die erste zeile bleibt unberührt, die dritte auch, die zweite zeile sieht dann folgendermassen aus:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 &| -2 \\ 0 & 2 & 1 & | -6\\ -1 & u & 1 &| v\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
jetzt addieren wir die erste zeile zur dritten, alle beiden anderen zeilen bleiben auch unberührt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 &| -2 \\ 0 & 2 & 1 & | -6\\ 0 & 2+u & 0 &| -2+v\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
nun haben wir die matrix in zeilenstufenform, denn wenn wir die zweite und die dritte spalte tauschen stehen unterhalb der diagonalen nullen.
so können wir sie jetzt lassen.

sagt dir der Rang einer Matrix etwas?

23.01.2010, 15:37

bandchef

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Es tut mir leid, aber ich hab einen Fehler an der angabe drin; hier die richtige Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 2 & 0 & u \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ v \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

23.01.2010, 15:40

lgrizu

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aber gauss funktioniert analog, entsteht auch keine nullzeile, haste denn deine lösung mit gauss da?
poste die doch mal.

23.01.2010, 16:59

bandchef

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Ich hab immer das proble, dass mir de rletzten nuller dann an dem vorhergehen nuller wieder eine "zahl" erzeugt...

was ist da los?

23.01.2010, 19:01

lgrizu

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Zitat:

Original von bandchef
Ich hab immer das proble, dass mir de rletzten nuller dann an dem vorhergehen nuller wieder eine "zahl" erzeugt...

verstehe ich nicht, also nicht, was du meinst....
wie, "der letzte nuller erzeugt eine zahl"....?

mach doch den Gauss-algorithmus mal vor, vielleicht sehen wir dann, wo dein problem liegt.
wenn du nichts vormachst kann ich dir schwer helfen.
ich hab allerdings jetzt noch was vor, also nimmt sich entweder jemand anderes heute deinem problem noch an oder ich mach das morgen.

24.01.2010, 14:11

bandchef

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Also ich machs mal vor:

Ich hab diese Ausgangsaufgabe:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 2 & 0 & u \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ v \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mein 1. Schritt: Ich möchte ein Null an der zweiten Stelle der ersten Spalte erzeugen:

Dazu rechne ich $\begin{eqnarray*} II-2*1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & u-2 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ v \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt rechne ich $\begin{eqnarray*} III+I \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & u-2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ v-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So und jetzt brauch ich quasi in der dritten Zeile an der zweiten Stelle noch eine Null um die Stufenform erreich zu haben:

Jetzt mache ich $\begin{eqnarray*} III+I \end{eqnarray*}$ (und hier geht's dann schief!)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & u-2 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ v-4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Versteht ihr jetzt was ich meine? Jetzt hab ich zwar an der letzten Stelle in Null stehen, aber dafür an der vorher erzeugen Null wieder ein Zahl stehen!

Wenn ich nun aber anstatt dam letzten Schritt das hier mache:

$\begin{eqnarray*} III-0,5*II \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & u-2 \\ 0 & 0 & -0,5u+1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ v-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann funktionierts anscheinend... Aber: Jetzt hab ich ja dann am Schluss dass da stehen um es lösen zu können:

$\begin{eqnarray*} III: -0,5u+1=v-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II: 2+u-2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} I: 1-1-1=-2 \end{eqnarray*}$

Und wie gehts da jetzt weiter?

Könnt ihr mir helfen?

danke, bandchef

24.01.2010, 14:50

lgrizu

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du hast nen fehler bei deinem ersten schritt:
u-2*(-1)=u+2 ( zweite zeile, dritte spalte, erste umformung).

nach deinem zweiten Schritt (III+I) haste doch schon fast zeilenstufenform,
da steht doch in der dritten Zeile: $\begin{eqnarray*} x_2=-2+v \end{eqnarray*}$ .

jede weitere umformung ist blödsinn und erschwert dir nur alles.....
edit:
ach so, 1-1-1=-2 ist falsch, 1-1-1=-1, was haste denn da gemacht?

24.01.2010, 15:09

bandchef

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Zitat:

nach deinem zweiten Schritt (III+I) haste doch schon fast zeilenstufenform, da steht doch in der dritten Zeile: $\begin{eqnarray*} x_2=-2+v \end{eqnarray*}$ .

Das verstehe ich nicht... Ich sehe kein x2

EDIT: Hinter der 1 steht ja eigentlich x2... Jetzt hab ichs verstanden!

Aber: Nach meinem zweiten schritt hab ich doch noch keine zeilenstufenform! da fehlt mir doch noch die null in der dritten zeile an der zweiten stelle!

PS: Ich kann doch meine matrix in 3 gleichungen unterteilen: und da steht doch dann nun mal für gleichung 1 quasi zeile 1: $\begin{eqnarray*} I: 1-1-1=-2 \end{eqnarray*}$

bandchef

24.01.2010, 15:15

lgrizu

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dann führe eine Spaltenoperation durch, vertausch die dritte mit der zeiten spalte und vertausche x_2 mit x_3, dann haste deine zeilenstufenform.....

24.01.2010, 15:41

bandchef

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Mit diesem dirtten Schritt $\begin{eqnarray*} III-0,5*II \end{eqnarray*}$ , würde es aber auch richtig werden, wenn ich mich da vorhe rnicht verrechnet hätte, oder?

Wenn ich dann die Zeilenstufenform endlich habe, wie gehts dann weiter?

24.01.2010, 15:47

lgrizu

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wir betrachten die dritte Zeile:
$\begin{eqnarray*} x_2=-2+v \end{eqnarray*}$
für welche v ist das lösbar?
dann betrachten wir die zweite Zeile:
$\begin{eqnarray*} 2x_2+(u+2)x_3=0 \end{eqnarray*}$ , x_2 einsetzen ergibt:
$\begin{eqnarray*} 2*(-2+v)+(u+2)x_3=0 \end{eqnarray*}$ , das mal nach x_3 auflösen und schauen, für welche u,v das lösbar ist, bzw. nicht lösbar ist.
dann x_2 und x_3 in die erste glecihung einsetzen und wieder schauen, für welche u,v das lösbar, bzw. nicht lösbar ist.

24.01.2010, 16:01

bandchef

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Wenn ich jetzt x2 und x3 in die erste Gleichung einsetze, ergibt sich das hier:

$\begin{eqnarray*} x_1-(-2+v)-(\frac{4-v}{u+2})=-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1=-4+v+\frac{4-v}{u+2} \end{eqnarray*}$

ist das richtig?

Was sagst du zu dem hier:

Zitat:

Mit diesem dirtten Schritt $\begin{eqnarray*} III-0,5*II \end{eqnarray*}$ , würde es aber auch richtig werden, wenn ich mich da vorhe rnicht verrechnet hätte, oder?

danke, bandchef

24.01.2010, 16:10

lgrizu

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Zitat:

Original von bandchef

Was sagst du zu dem hier:

Zitat:

Mit diesem dirtten Schritt $\begin{eqnarray*} III-0,5*II \end{eqnarray*}$ , würde es aber auch richtig werden, wenn ich mich da vorhe rnicht verrechnet hätte, oder?

danke, bandchef

das stimmt, aber da hast du dann auch für $\begin{eqnarray*} x_3=\frac{4+2v}{2+u} \end{eqnarray*}$ .

das erhälst du auch, wenn du nach x_3 auflöst:
$\begin{eqnarray*} x_3=\frac{-2(-2-v)}{2+u} \end{eqnarray*}$ .

x_1 sieht so weit richtig aus.
nun, für welche u,v ist das LGS dann nicht lösbar bzw. lösbar?

24.01.2010, 16:28

bandchef

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wenn nun x_1 richtig aussieht, hilft es mir vielleicht u,v zu berechnen wenn ich es gleich null setze?

danke, bandchef

24.01.2010, 16:33

lgrizu

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wir schauen jetzt erst mal, für weche v $\begin{eqnarray*} x_2=-2+v \end{eqnarray*}$ lösbar bzw. nicht lösbar ist, welche sind das?

24.01.2010, 16:38

bandchef

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v=x2+2

24.01.2010, 16:45

lgrizu

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die frage, die sich hier stellt, ist nicht, wie v in abhängigkeit von x_2 aussieht, sondern für welche v es eine lösung x_2 gibt.

24.01.2010, 16:50

bandchef

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naja dann gibt es unendlich viel lösungen, oder?

24.01.2010, 16:57

lgrizu

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wenn du damit sagen willst, dass es für alle v aus R lösbar ist, dann stimmt das

24.01.2010, 17:08

lgrizu

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aber noch etwas, dass es unendlich viele lösungen gibt sagt nichts darüber aus, für welche v das lösbar ist, denn die ganzen zahlen sind auch unendlich und wenn es für alle ganzen zahlen lösbar wäre, für brüche aber nicht, dann gibt es immer noch unendlich viele lösungen, aber auch unendlich viele zahlen, für die das nicht lösbar ist.

24.01.2010, 17:46

bandchef

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ja das möchte ich damit sagen!

24.01.2010, 18:09

lgrizu

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wie gesagt, dann ist das richtig, lerne aber, dich korrekt auszudrücken.

nun schaue auf x_3, für welche u,v ist das lösbar?

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