Markov-Kette/Übergangsmatrix

23.01.2010, 19:21	DonSimon	Auf diesen Beitrag antworten »
Markov-Kette/Übergangsmatrix Servus, ich habe hier eine Aufgabe gegeben, bei der mir der letzte Schritt zur Übergangsmatrix fehlt.In einem Gefecht befinden sich drei schiffe. A trifft sein Ziel mit W-kei 0,5, B mit 1/3 und C mit W-keit 1/4. In der Aufgabensetllung steht darüberhinaus noch, dass alle Schiffe gleichzeitig schießen, ein Treffer bereits tödlich ist und jedes Schiff in jeder Runde sein Ziel auf möglichst geschickte Art und weise wählt. Ich soll nun die mittlere Zeit bestimmen, wann das Fefecht endet. Mein Problem: mir fehlt eine Zeile in der Übergangsmatrix, nämlich die des Anfangszustandes wo sich noch alle drei Schiffe im Gefecht befinden.. Mein Problem ist nur, egal was ich versuche, die Einträge der Zeile werden stets zu groß und addieren sich zu mehr als 1. Meine Idee für ABC --> ABC: nehme an, dass kein schiff trifft, also für A 1/1, für B 2/3 und für C 3/4 und so habe ich auch die anderen Übergaänge durchprobiert, lief aber irgendwie nicht. Gruß
24.01.2010, 16:54	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Markov-Kette/Übergangsmatrix Der Anfangszustand ist: $\begin{eqnarray} 1:=(A,B,C) \end{eqnarray}$ also alle 3 Schiffe sind noch da. Was bedeutet für dich, dass die Schiffe ihr Ziel möglichst geschickt wählen? Für mich bedeutet das, dass ein Schiff jeweils den Gegner mit der höchsten Trefferwahrscheinlichkeit attackiert. Also A attackiert B, B und C attackieren A. Aus der erklärten Graphik kann man dann die Übergangsmatrix herauslesen. Zumindest würde ich das so machen. Also bleibt der Zustand 1 mit der Wahrscheinlichkeit (1/2)(2/3)(3/4)=1/4 bestehen. Der Zustand 1 wächselt in den Zustand $\begin{eqnarray} 2:=(\overline A, B, C) \end{eqnarray}$ (nur A wird abgeschossen) mit einer Wahrscheinlichkeit von (1/2)(1-(2/3)(3/4))=1/4 Der Zustand 1 wächselt in den Zustand $\begin{eqnarray} 3:=(\overline A, \overline B, C) \end{eqnarray}$ (A und B werden abgeschossen) mit einer Wahrscheinlichkeit von (1/2)(1-(2/3)(3/4))=1/4 Der Zustand 1 wächselt in den Zustand $\begin{eqnarray} 4:=(A, \overline B, C) \end{eqnarray}$ (nur B wird abgeschossen) mit einer Wahrscheinlichkeit von (1/2)(2/3)(3/4)=1/4 u.s.w. P.S. der einzigen weiteren möglichen Zustände lauteten $\begin{eqnarray} 5:=(\overline A, \overline B, \overline C) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 6:=(A, \overline B, \overline C) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 7:=(\overline A, B, \overline C) \end{eqnarray}$ Wie war dein vorgehen?
24.01.2010, 19:28	DonSimon	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Problem ist doch aber, dass sich deine bisherigen W-keiten bereits zu 1 summieren und die anderen Zustände ebenfalls positive Wahrscheinlichkeiten haben. Meine Idee: Von {A,B,C}--> {B,C} hat die W-keit: B trifft A, A trifft nicht und C trifft nicht = !/31/23/4=1/8 und C trifft A, A trifft nicht und B trifft nicht = 1/41/22/3 =1/12 Was beudeutet, dass die Übergangsw-keit 5/24 ist Wenn das richtig ist geht es in diesen Fällen auch noch, Probleme sind die Übergänge, wo nur noch ein Boot übrig bleibt
24.01.2010, 19:42	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe dein Problem nicht. Natürlich summieren sich die genannten Wahrscheinlichkeiten zu 1, da der Zustand 1 zu 100% in einen der Zustände 1 bis 4 übergeht. Von Zustand 1 kann man doch garnicht in Zustand 5, 6 oder 7 übergehen, da das Schiff C garnicht angegriffen wird. Das ist unter meiner Annahme, dass immer das feindliche Schiff mit der höchsten Trefferwahrscheinlichkeit attackiert wird klar. Da wäre es meiner Ansicht nach also sinnvoller gewesen meine Frage, wie du: "Jedes Schiff wählt in jeder Runde sein Ziel auf möglichst geschickte Art und weise" interpretierst, zu beantworten. P.S. bei deiner Übergangswahrscheinlichkeit {A,B,C} -> {B,C} hast du die Wahrscheinlichkeit für "B trifft A, C trifft A und A trifft nicht" vergessen. (Was ja vorkommen kann, da auch in deinem Beispiel sowohl B als auch C auf A schießen.) Desweiteren würde ich behaupten, dass das Gefecht zuende ist, wenn nurnoch ein Schiff übriggeblieben ist oder alle vernichtet wurden.
24.01.2010, 19:48	DonSimon	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, das ist wohl richtig, dass ich diese Möglichkeit vergessen habe. Genau diese Formulierung wer wie schießt ist gerade das Problem. Bei deiner Überlegungmüsste man ja eigentlich einige verschiedene Übergangsmetrizen angeben, je nachdem welche Konstellation man annimmt oder nicht?
24.01.2010, 20:11	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei meiner Überlegung erhält man eine Übergangsmatrix mit 7 Zuständen. Aber mal zu Wahl, wer wie schießt. Nur in dem ersten Zustand kann das ein Problem sein, da das Ziel in allen anderen Fällen eindeutig gegeben ist (solange niemand auf sich selbst schießt). A kann auf B oder auf C schießen. Der Schuss ist in beiden Fällen zu 50% tödlich und geht zu 50% daneben. Da alle Schiffe gleichzeitig schießen kann er nicht abwarten wer wie schießt. Also egal was er tut, er überlebt immer mit der selben Wahrscheinlichkeit. Dementsprechend versucht er natürlich den gefährlichsten Gegner, also B, zu eliminieren. Sei P(A überlebt) = p_a Methode 1: Schießt A auf C, so haben wir: P(C überlebt) = P(B schießt auf C)(2/3)(1/2) P(B überlebt) = P(C schießt auf B)(3/4) Methode 2: Schießt A auf B, so haben wir P(C überlebt) = P(B schießt auf C)(2/3) P(B überlebt) = P(C schießt auf B)(3/4)(1/2) Stirbt A, so ist für ihn sowieso alles egal. Überlebt er, so befindet er sich mit Methode 1 zu zur selben Wahrscheinlichketi wie mit Methode 2 wieder in Zustand 1, aber wählt der Methode 2 so verringert sich die Wahrscheinlichkeit gegen B statt gegen A kämpfen zu müssen (also Zustand {A,B} statt Zustand {A,C} zu erreichen). Da B der gefährlichere Gegner ist, minimiert A also mit mit Methode 2 das Risiko zu sterben.
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24.01.2010, 21:33	DonSimon	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Idee mit dem gefährlichsten Gegner ist gut. Da bin ich nicht drauf gekommen. Klingt aber absolut einleuchtend. Die 7 Zustände hatte ich auch und auch die Matrix für die anderen sechs bereits aufgeschreiben. Mir fehlte nur noch der Letzte. Besten Dank
24.01.2010, 21:38	Royal Tomek	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die Frage, auf wen geschossen werden soll, ist absolut nicht trivial. In der Spieltheorie läuft das ganze unter Triell oder Truel. Ihr könnt ja googeln. Es stellt sich auch die Frage, ob Koallitionen eingeganen werden können oder nicht. Und ebenfalls wichtig, dürfen die Schiffe "in die Luft schießen", dann besteht nämlich eine optimale Lösung darin, dass alle 3 "in die Luft schießen" und somit sicher überleben.

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