Quotientenregel der Epsilon Delta Definition beweisen

23.01.2010, 19:51

No idea

Quotientenregel der Epsilon Delta Definition beweisen

Hallo zusammen!

Habe mal wieder eine Frage zu einem Beweis. Mir wurde gesagt, dass er falsch ist. Habe ihn als Datei angehängt, hoffe man kann alles erkennen.
Also mir wurde gesagt, dass ich kein Epsilon 1 und Epsilon 2 bestimmen kann. Und an der Stelle wo das Fragezeichen steht, ist er scheinbar auch nicht ganz schlüssig.

Danke schon mal.=)

23.01.2010, 20:06

Mazze

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Ohne Datei können wir da nicht viel machen. Abgesehn davon gibts viele für die sowas eine Abschreckung ist zu helfen. Den Formeleditor gibts ja hier nicht umsonst. Gezwungen wird jedoch keiner Augenzwinkern

23.01.2010, 20:38

No idea

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Ja da hast du allerdings recht...dachte nur, dass ich das eventuell net so gut hinbekommen, wie in der Aufzeichnung! Aber da ich natürlich geholfen bekommen möchte, setze ich mich dran! smile

Seien f:C-->C und g:C-->C zwei stetige komplexe Funktionen.

Behauptung: Die Funktion r:C-->C mit $\begin{eqnarray*} \forall z\in C:r\left(z\right)= \frac{f\left(z\right) }{g\left(z\right) } \end{eqnarray*}$

Beweis: Da f:C-->C eine stetige Funktion wähle $\begin{eqnarray*} \delta1\ so\ das\ gilt:|z- z0|<\delta\Rightarrow |f\left(z\right)-f\left(z0\right) |<\epsilon1 \end{eqnarray*}$

Da g:C-->C eine stetige Funktion wähle $\begin{eqnarray*} \delta2\ so\ das\ gilt:|z- z0|<\delta\Rightarrow |g\left(z\right)-g\left(z0\right) |<\epsilon2 \end{eqnarray*}$

Wähle $\begin{eqnarray*} \delta:=min\left\{\delta1,\delta2 \right\} \end{eqnarray*}$ ,g(z),g(zo) $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |r\left(z\right)-r\left(z0\right)|= |\frac{f\left(z\right) }{g\left(z\right) }- \frac{f\left(z0\right) }{g\left(z0\right) } |\leq |\frac{f\left(z\right)g\left(z0\right)- f\left(z0\right)g\left(z\right)}{g\left(z\right)g\left(z0\right) } | \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |\frac{f\left(z\right)g\left(z0\right)- f\left(z0\right)g\left(z0\right)+ f\left(z0\right)g\left(z0\right)- f\left(z0\right)g\left(z\right) }{g\left(z\right)g\left(z0\right) } | \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq | \frac{f\left(z\right)- f\left(z0\right) }{g\left(z\right) } |+ |\frac{f\left(z0\right)\left(g\left(z\right)- g\left(z0\right) \right) }{g\left(z\right)g\left(z0\right) } | \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} <\epsilon \end{eqnarray*}$

Und die letzten 2 Schritte sind scheinbar nicht richtig...versteh allerdings nicht, was da noch hinkommt. Und die Bezeichnung oben mit $\begin{eqnarray*} \epsilon1\ und\ \epsilon2 \end{eqnarray*}$ ist angeblich ungenau und dadurch falsch.

24.01.2010, 10:37

Mazze

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Zunächst zur Wahl der Epsilon : Du wählst nicht die Delta, Du wählst $\begin{eqnarray*} \epsilon_1 > 0 \end{eqnarray*}$ , dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} \delta_1 > 0 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} |z- z_0|<\delta_1 \Rightarrow |f\left(z\right)-f\left(z_0\right) |<\epsilon_1 \end{eqnarray*}$

Genauso für $\begin{eqnarray*} \epsilon_2 \end{eqnarray*}$ .

Was deine Abschätzungen angeht, Du kannst höchstens

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{f(z) - f(z_0)}{g(z)}\right| \leq \frac{\epsilon_1}{|g(z)|} \end{eqnarray*}$

abschätzen. Analog für den zweiten Summanden. Du darfst die anderen Terme nicht einfach ignorieren. Wenn zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \epsilon_1 > 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |g(z_0)| < 1 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \frac{\epsilon_1}{|g(z_0)|} > \epsilon_1 \end{eqnarray*}$ . Abgesehen davon zeigst Du auch nicht das richtige. Du willst folgendes zeigen : Ist

$\begin{eqnarray*} \left|r(z) - r(z_0)\right| < \epsilon \end{eqnarray*}$ so gibt es ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} |z - z_0| < \delta \Rightarrow |r(z) - r(z_0)| < \epsilon \end{eqnarray*}$ gilt.

Das Delta darf ruhig von $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ abhängig sein, hier wird ja nicht auf gleichmäßige Stetigkeit überprüft. Sei also

$\begin{eqnarray*} \epsilon > \left|r(z) - r(z_0)\right| \end{eqnarray*}$ ...

Alternative Variante : Argumentation über Folgenstetigkeit : Eine Funktion h ist stetig in $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ wenn für alle Folgen $\begin{eqnarray*} z_n \subset \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z_n \to z_0 \end{eqnarray*}$ gilt :

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}h(z_n) = h(z_0) \end{eqnarray*}$

Mittels der Grenzwertsätze, die bekannt sein dürften, folgt damit die Stetigkeit des Quotienten nahezu sofort.

24.01.2010, 12:06

No idea

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Ja gut...so kann man das natürlich auch beweisen. Aber ich muss es die Quotientenregel der epsilon delta definition beweisen und dann sind andere Varianten leider ausgeschlossen.

Also ich hab am Anfang einfach zwei epsilons definiert, eins für $\begin{eqnarray*} |f\left(z\right)- f\left(z0\right) |<\epsilon| \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} |g\left(z\right)- g\left(z0\right) | <\epsilon2 \end{eqnarray*}$
Ok, wenn ich das dann unten einsetz, kommt auf der einen Seite $\begin{eqnarray*} \frac{\epsilon1}{|g\left(z\right)| } \end{eqnarray*}$ raus. Habe ich da aber nicht das Problem, dass ich das nicht richtig bestimmen kann, weil g(z) keine feste Zahl ist?
Auf der anderen Seite hätte ich dann $\begin{eqnarray*} |\frac{f\left(z0\right)\epsilon2 }{g\left(z\right)g\left(z0\right) } | \end{eqnarray*}$
Kann es sein, dass mir noch eine Umformung fehlt, damit ich am Schluss auf $\begin{eqnarray*} <\epsilon \end{eqnarray*}$ ?
Oder ich muss meine $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ am anfang anders wählen, aber wie?

24.01.2010, 12:25

Mazze

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Du musst von der Gleichung

$\begin{eqnarray*} \left|r(z) - r(z_0)\right| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

ausgehen und dann ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ finden so dass

$\begin{eqnarray*} |z - z_0| < \delta \Rightarrow \left|r(z) - r(z_0)\right| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

gilt. Du gehst also von $\begin{eqnarray*} \left|r(z) - r(z_0)\right| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ aus und versucht damit auf einen Ausdruck $\begin{eqnarray*} |z - z_0| < \delta(\epsilon,z_0) \end{eqnarray*}$ zu kommen.

24.01.2010, 15:36

No idea

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Ja, das ist mir klar...nur ich muss doch $\begin{eqnarray*} |r\left(z\right)- r\left(z0\right) | = | \frac{f\left(z\right) }{g\left(z\right) }- \frac{f\left(z0\right) }{g\left(z0\right) } | \end{eqnarray*}$ setzen und dann dafür zeigen, dass das kleiner Epsilon ist und dadurch ist $\begin{eqnarray*} |r\left(z\right)- r\left(z0\right) | \end{eqnarray*}$ bewiesen. Also gilt dadurch die Quotientenregel. So funktioniert das doch auch bei der Produktregel und der Summenregel. Oder denk ich da falsch...

24.01.2010, 16:38

auch mal da

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Du kannst doch wegen der Beschränktheit von g und f setzen:

$\begin{eqnarray*} \epsilon^*_1=|\frac{f(z)\cdot~g(z_0)}{f(z_0)}|\cdot\epsilon_1=\frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \epsilon^*_2=|g(z)|\cdot~\epsilon_2=\frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$

24.01.2010, 16:48

No idea

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Aha...woher weiß ich, dass $\begin{eqnarray*} | \frac{f\left(z\right) \cdot g\left(z0\right) }{f\left(z0\right) } | = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Meinst du, dass ich $\begin{eqnarray*} \epsilon1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \epsilon2 \end{eqnarray*}$ schon zu Beginn so definieren soll oder wann kann ich das dann einsetzen?

24.01.2010, 16:58

auch mal da

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Zitat:

Original von No idea
Aha...woher weiß ich, dass $\begin{eqnarray*} | \frac{f\left(z\right) \cdot g\left(z0\right) }{f\left(z0\right) } | = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Nein, das gilt natürlich nicht!

Aber Du multiplizierst $\begin{eqnarray*} \epsilon_1 \end{eqnarray*}$ doch mit $\begin{eqnarray*} | \frac{f\left(z\right) \cdot g\left(z0\right) }{f\left(z0\right) } | \end{eqnarray*}$ , einer beschränkten Zahl. Dieses Produkt setzt Du entsprechend.

24.01.2010, 17:53

No idea

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Und wie komm ich auf $\begin{eqnarray*} |\frac{f\left(\right)\cdot g\left(z0\right) }{f\left(z0\right) } | \end{eqnarray*}$ ...brauche ich dafür noch eine Umformung? Und für was setze ich dann $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ein?

24.01.2010, 17:54

No idea

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sorry oben in der Klammer fehlt das z. Also f(z).

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