Berechnung von Flächen zwischen zwei Graphen

23.01.2010, 23:27	DTTB	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung von Flächen zwischen zwei Graphen Hi, also ich habe eine Frage und zwar geht es um die Berechnung von Flächen zwischen zwei Graphen. Wenn ich nun eine solche Fläche habe, muss ich ja zunächst die Schnittpunkte ausrechnen (anhand eines Beispiels): f(x) = g(x) x² = -x + 2 x² + x - 2 = 0 mit pq-Formel berechnen: x1= 1 und x2=-2 Intervall ist also [1;-2] also: [attach]13113[/attach] Den nächsten Schritt verstehe ich jetzt aber nicht: [attach]13114[/attach] Da hab ich anscheinend eine Lücke in meinem Wissen, aber ich glaube auch, dass der Herr, der diese Beispielaufgabe gerechnet hat, dabei einige Zwischenschritte nicht aufgeschrieben hat. Kann mir jemand helfen?
23.01.2010, 23:47	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung von Flächen zwischen zwei Graphen Vergiss doch einmal die vorgefertigte Lösung. Wie würdest du es berechnen? Die Schnittpunkte hast du nun schon einmal. Was ist gut an der Aufgabe. Wo liegt denn die Fläche? Oberhalb von ....... Welche Funktion ist oben? Welche ist unten? Was hat diese Funktion mit der Aufgabe zu tun? Warum braucht man Integrale? Was gibt es denn da für Rechenregeln? Was machst du, wenn die beiden Funktionen anders im Koordinatensystem liegen?
23.01.2010, 23:58	Corny	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Ansatz ist schon falsch. Du hast die obere und die untere Grenze des Integrals vertauscht. Die Vorgehnesweise ist dann wie folgt. Du suchst die Stammfunktion und setzt dann zuerst die obere und dann die untere Integrationsgrationsgrenze ein.
24.01.2010, 01:28	DTTB	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schonmal für eure Hilfe, hat mich auch schon weitergebracht. Also da ich die beiden Funktionen versehentlich vertauscht habe, lautet die Differenzfunktion richtig: $\begin{eqnarray} \int_a^b \! x² \, dx - \int_a^b \! (-x + 2) \, dx \end{eqnarray}$ Aufleitung: $\begin{eqnarray} \left[\frac{1}{3}x^{3}+ \frac{1}{2} x^{2} - 2x \right] \end{eqnarray}$ Jetzt kann man die obere und untere Integralgrenze einsetzen: $\begin{eqnarray} \left[\frac{1}{3}(-2)^{3}+ \frac{1}{2}(-2)^{2} - 2(-2) \right]= \frac{1}{3}(-8)+ \frac{1}{2}4 + 4= -\frac{8}{3} + 2+ 4= 3\frac{1}{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left[\frac{1}{3}1^{3}+ \frac{1}{2}1^{2} - 21 \right]= \frac{1}{3}+ \frac{1}{2} - 2= - 1\frac{1}{6} \end{eqnarray}$ Die Differenz aus den beiden Resultaten ergibt schließlich den Flächeninhalt der gesuchten Fläche: $\begin{eqnarray} A=3\frac{1}{3} - \left(-1\frac{1}{6} \right) = 4\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Jetzt ist es aber richtig, oder?
24.01.2010, 12:00	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch hier, ziehe ich erstmal ein Skizze vor. Die Fläche zwischen den Graphen ist anschaulich klar. Solche Flächen müssen immer positiv sein. Integrale können aber auch negativ sein. Das sind gerichtete Flächen. Hier sieht man schön, welche Funktion oben, welche unten ist. Die gesuchte Fläche ist also: $\begin{eqnarray} A=\int_{-2}^{1}-x+2~dx - \int_{-2}^{1} x^2 ~dx \end{eqnarray}$ Ich sprach von Rechenregeln für Integrale. Diese hast du hoffentlich nachgeschlagen. $\begin{eqnarray} A=\int_{-2}^{1}-x+2- x^2 ~dx \end{eqnarray}$ Die Fläche ist also auch das Integral der Differenzfunktion. $\begin{eqnarray} A=[-\frac{1}{2}x^2+2x- \frac{1}{3}x^3]_{-2}^{1} = (-0.5+2-\frac{1}{3}) - (-2-4+\frac{8}{3}) = 4.5 \end{eqnarray}$ Warum habe ich das nochmal aufgeschrieben? Da deine Rechnung (siehe Bild) ja nicht stimmen kann. Wo ist dein Fehler? Du bildest die Differenz falsch. 1 ist die obere Integralgrenze, -2 die untere. Daher erhält du eigentlich $\begin{eqnarray} A=3\frac{1}{3} -1\frac{1}{6} - 3\frac{1}{3}=- 4\frac{1}{2} \end{eqnarray}$

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