inhomogene dgl zweiter ordnung

24.01.2010, 13:33

nixlunae

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inhomogene dgl zweiter ordnung

ich habe ein problem mit folgender aufgabe:

Bestimmen Sie die Lösung des folgenden angangswertproblems $\begin{eqnarray*} y''+2y'+2=xe^{x} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y(0)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y'(0)=1 \end{eqnarray*}$ !

normalerweise bestimme ist zuerst die allgemeine lösung in form einer homogenen dgl - also $\begin{eqnarray*} y''+2y'+2=0 \end{eqnarray*}$ , wobei ich als allgemeine lösung $\begin{eqnarray*} y=c_{1}+c_{2}e^{-2x} \end{eqnarray*}$ erhalte. mithilfe der anfangswerte ermittle ich $\begin{eqnarray*} c_{1},c_{2} \end{eqnarray*}$ und es ergibt sich als lösung $\begin{eqnarray*} y=0,5-0,5e^{-2x} \end{eqnarray*}$

im anschluss ermittle ich die partikulare lösung - da aber mein erstes problem: die 2 auf der linken seite der gleichung steht allein und nicht als koeffizient von y. bedeutet das, dass ich sie mit auf die rechte seite ziehen soll und als störfunktion dann $\begin{eqnarray*} g(x)=xe^{x}-2 \end{eqnarray*}$ erhalte? oder ist mein ansatz schon falsch und ich substituiere einfach $\begin{eqnarray*} z(x)=y' \end{eqnarray*}$ ?

24.01.2010, 13:51

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RE: inhomogene dgl zweiter ordnung
Deine charakteristische Gleichung ist schon falsch, da bekommst du nicht die angegebenen Eigenwerte.

Deine allgemeien Lösung zur homogenen Dgl. stimmt jedoch wieder.

Für einen entsprechenden Ansatz betrachtest du die rechte Seite $\begin{eqnarray*} b(x)=xe^x-2 \end{eqnarray*}$ und überlegst, welche Struktur eine spezielle Lösung haben könnte.

Natürlich wäre auch von vorhinein eine entsprechende Substitution möglich.

24.01.2010, 14:14

nixlunae

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RE: inhomogene dgl zweiter ordnung
ahja, die charakteristische gleichung müsste natürlich $\begin{eqnarray*} y''+2y'=0 \end{eqnarray*}$ lauten.

gut,ich bin jetzt schon einbißchen weiter:

die partikuläre lösung müsste, wenn $\begin{eqnarray*} b(x)=xe^x-2 \end{eqnarray*}$ , die Form $\begin{eqnarray*} y_{p}=e^x(b_{0}+b_{1}x)-b_{0} \end{eqnarray*}$ haben.
als ableitungen ergeben sich dann die gleichungen $\begin{eqnarray*} y'_{p}=e^x(b_{0}+b_{1}+b_{1}x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y''_{p}=e^x(b_{0}+2b_{1}+b_{1}x) \end{eqnarray*}$ .

eingesetzt in meine dgl ergibt sich dann $\begin{eqnarray*} 3b_{0}e^x+4b_{1}e^x+3b_{1}xe^x=xe^x-2 \end{eqnarray*}$ .

mithilfe des koeffizientenvergleichs bestimme ich $\begin{eqnarray*} b_{1}=1/3 \end{eqnarray*}$ doch wie bekomme ich $\begin{eqnarray*} b_{0} \end{eqnarray*}$ heraus? als gleichung ergibt sich $\begin{eqnarray*} -2=(3b_{0}+4b_{1})e^x \end{eqnarray*}$ - oder auch $\begin{eqnarray*} -2=(3b_{0}+4/3)e^x \end{eqnarray*}$ . was mache ich denn mit dem $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ?

sorry, dass ich mich da echt so anstelle...

24.01.2010, 14:25

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RE: inhomogene dgl zweiter ordnung

Zitat:

Original von nixlunae
ahja, die charakteristische gleichung müsste natürlich $\begin{eqnarray*} y''+2y'=0 \end{eqnarray*}$ lauten.

http://www.matheboard.de/images2/bbcode_mimetex.gif
Das ist nicht die charakteristische Gleichung, sondern die homogene Differentialgleichung.

Zitat:

Original von nixlunae
gut,ich bin jetzt schon einbißchen weiter:

die partikuläre lösung müsste, wenn $\begin{eqnarray*} b(x)=xe^x-2 \end{eqnarray*}$ , die Form $\begin{eqnarray*} y_{p}=e^x(b_{0}+b_{1}x)-b_{0} \end{eqnarray*}$ haben.

Warum sollen die beiden Polynome bezüglich ihrer Koeffizienten übereinstimmen? Vielmehr würde ich mir für deine rechte Seite zwei Ansätze überlegen, erst für

$\begin{eqnarray*} b_1(x)=xe^x \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} b_2=-2 \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} b_1 \end{eqnarray*}$ ist der obige Ansatz korrekt, bis auf den letzten Teil. Bei $\begin{eqnarray*} b_2 \end{eqnarray*}$ solltest du beachten, dass einfache Resonanz vorliegt, d.h. du musst deinen Ansatz noch erweitern.

24.01.2010, 14:45

nixlunae

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RE: inhomogene dgl zweiter ordnung
nächster versuch zur charakteristischen gleichung: $\begin{eqnarray*} r^2+r=0 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} r_{1}=0,r_{2}=-2 \end{eqnarray*}$ .

meine partikuläre lösung besitzt die form $\begin{eqnarray*} y_{p}=y_{p_{1}}+y_{p_{2}} \end{eqnarray*}$ , somit $\begin{eqnarray*} y_{p_{1}}=xe^x,y_{p_{2}}=-2 \end{eqnarray*}$ . setze ich nun beide gleichungen zu $\begin{eqnarray*} y_{p} \end{eqnarray*}$ zusammen, leite sie ab und setze sie in meine dgl ein, muss ich nur noch die koeffizienten vergleichen. das ist doch der übliche weg, oder nicht?!

mit einfacher resonanz kann ich leider nix anfangen. wahrscheinlich läuft es darauf hinaus, dass es mit meiner einen nullstelle der charakteristischen gleichung mit $\begin{eqnarray*} r_{1}=0 \end{eqnarray*}$ zu tun hat. aber wie gesagt: ich soll wirklich bloß die lösung bestimmen und musste mich bisher auch noch nicht zu schwingung oder ähnlichem äußern...

trotzdem schon einmal an dieser stelle: DANKE!!

24.01.2010, 14:49

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RE: inhomogene dgl zweiter ordnung
Nur mal nebenbei: falls dir das mit den Ansätzen nicht gefällt, kannst du natürlich auch immer über Variation der Konstanten gehen, da das ja immer geht - offensichtlich jedoch komplizierter wird.

Dein Ansatz für die rechte Seite $\begin{eqnarray*} b_2=-2 \end{eqnarray*}$ muss lauten

$\begin{eqnarray*} y_p=A \end{eqnarray*}$

mit einer Konstante A. Nun ja, es liegt aber Resonanz vor, d.h. du erweiterst den Ansat mit x, d.h.

$\begin{eqnarray*} y_p=Ax \end{eqnarray*}$

Das der erste Ansatz nicht stimmen kann, siehst du daran, dass er beim Einsetzen verschwindet, da die erste und zweite Ableitung verschwindet. Also setzt du ein Polynom höheren Grades an.

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24.01.2010, 15:17

nixlunae

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RE: inhomogene dgl zweiter ordnung
okay, also lautet der ansatz $\begin{eqnarray*} y_{p}=e^x(b_{0}+b_{1}x)+2b_{0}x \end{eqnarray*}$ . das mit dem x anhängen sehe ich völlig ein und ergibt sinn! Augenzwinkern

Augenzwinkern

leite ich aber nun diesen ansatz ab und setze ihn in die dgl ein erhalte ich $\begin{eqnarray*} 3b_{1}xe^x+e^x(3b_{0}+4b_{1})+2b_{0}=xe^x-2 \end{eqnarray*}$ . damit ergibt sich für $\begin{eqnarray*} 3b_{1}=1,b_{1}=1/3 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} 2b_{0}=-2,b_{0}=-1 \end{eqnarray*}$ . muss aber nicht $\begin{eqnarray*} 3b_{0}+4b_{1}=0 \end{eqnarray*}$ sein, da es in meiner dgl kein weiteres $\begin{eqnarray*} 3b_{0}+4b_{1} \end{eqnarray*}$ gibt? dann stimmen aber leider meine bisherigen ergbnisse nicht...

och maaan...

24.01.2010, 15:27

nixlunae

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RE: inhomogene dgl zweiter ordnung
Frage: liegt mein fehler vielleicht darin, dass ich bei $\begin{eqnarray*} y_{p}=e^x(b_{0}+b_{1}x)+2b_{0}x \end{eqnarray*}$ zweimal den parameter $\begin{eqnarray*} b_{0} \end{eqnarray*}$ vergeben habe und ich sollte lieber $\begin{eqnarray*} y_{p}=e^x(b_{0}+b_{1}x)+2b_{2}x \end{eqnarray*}$ schreiben? das wäre ja echt ein dummer fehler!!!

24.01.2010, 15:29

AD

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Ja, das ist der Fehler. Und du wurdest oben schon mal drauf aufmerksam gemacht, dass das so nicht geht!

24.01.2010, 15:32

nixlunae

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okay, dann hab ich den wink mit dem zaunpfahl nicht richtig bemerkt!

ich danke euch vielmals und wünsche noch einen erholsamen sonntag!!!

24.01.2010, 15:50

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Du kannst gerne auch nochmal deine Lösung posten, falls du an einer "Korrektur" interessiert bist Wink

Wink

24.01.2010, 16:07

nixlunae

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gut, mit den besagten ansätzen habe ich dann folgenden lösungsweg: Augenzwinkern

Augenzwinkern

partikuläre lösung: $\begin{eqnarray*} y_{p}=e^x(b_{0}+b_{1}x)+2b_{2}x \end{eqnarray*}$ als ansatz

nach ableiten und einsetzen in die dgl erhalte ich
$\begin{eqnarray*} 3b_{1}xe^x+e^x(3b_{0}+4b_{1})+2b_{2}=xe^x-2 \end{eqnarray*}$

koeff.vergleich liefert:
$\begin{eqnarray*} 3b_{1}=1 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} b_{1}=1/3 \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} 3b_{0}+4b_{1}=0 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} b_{0}=0-4/3:3=-4/9 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} 2b_{2}=-2 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} b_{2}=-1 \end{eqnarray*}$ .

damit erhalte ich als lösung:
$\begin{eqnarray*} y=0,5-0,5e^{-2x}+e^x(-4/9+1/3x)-x \end{eqnarray*}$

ich hoffe, dass mir jetzt keine weiteren fehler unterlaufen sind und dann dir ehrlich ganz doll!
Wink

Wink

24.01.2010, 16:16

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Die spezielle Lösung ist vollkommen richtig!

Die Anfangswerte aber zum Schluss einarbeiten, so stimmt es noch nicht ganz!

24.01.2010, 16:32

nixlunae

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ach, du meinst, ich muss jetzt noch meine spezielle lösung soweit ergänzen, dass immer noch meine anfangswertproblematik mit $\begin{eqnarray*} y(0)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y'(0)=1 \end{eqnarray*}$ stimmt. upps, das hab ich dann bisher immer vergessen Finger1

Finger1

okay, dann müsste mein richtig-fertige lösung heißen:
$\begin{eqnarray*} y=17/18-0,5e^{-2x}+e^x(-4/9+1/3x)+1/9x \end{eqnarray*}$

noch mals: Gott

Gott

24.01.2010, 17:18

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Warum änderst du deine spezielle Lösung?

Schreibe mal deine allgemeine Lösung auf mit den entsprechenden Konstanten $\begin{eqnarray*} c_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_2 \end{eqnarray*}$ . Dann erst Anfangswerte einsetzen und die Konstanten bestimmen.

24.01.2010, 18:17

nixlunae

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meine allgemeine lösung der homogenen dgl war $\begin{eqnarray*} y=c_{1}+c_{2}e^{-2x} \end{eqnarray*}$ und nach einsetzen der anfangswerte hatte ich $\begin{eqnarray*} y=0,5-0,5e^{-2x} \end{eqnarray*}$ erhalten...

achso, meinst du etwa so:

$\begin{eqnarray*} y=c_{1}+c_{2}e^{-2x}+e^x(-4/9+1/3x)-x \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} y(0)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y'(0)=1 \end{eqnarray*}$ nutzen, um $\begin{eqnarray*} c_{1},c_{2} \end{eqnarray*}$ zu ermitteln?

gut, dann würde ich $\begin{eqnarray*} c_{1}=3/2,c_{2}=-19/18 \end{eqnarray*}$ erhalten!

so richtig?

24.01.2010, 18:23

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Zitat:

Original von nixlunae
achso, meinst du etwa so:

$\begin{eqnarray*} y=c_{1}+c_{2}e^{-2x}+e^x(-4/9+1/3x)-x \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} y(0)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y'(0)=1 \end{eqnarray*}$ nutzen, um $\begin{eqnarray*} c_{1},c_{2} \end{eqnarray*}$ zu ermitteln?

gut, dann würde ich $\begin{eqnarray*} c_{1}=3/2,c_{2}=-19/18 \end{eqnarray*}$ erhalten!

so richtig?

Genau, jetzt ist es korrekt.

24.01.2010, 18:35

nixlunae

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meine güte, das war aber eine schwere geburt...

ich danke dir für dein durchhaltevermögen und wünsch dir noch was!!!

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