Aufgabe zur Integralrechnung! |
| 14.10.2006, 23:05 | Falke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Aufgabe zur Integralrechnung! Für k > 0 ist die Funktion fk gegeben durch fk(x) = -(1/3)x³ + kx. Bestimme k so, dass die Normale im Wendepunkt des Graphen von fk eine Fläche von Flächeninhalt 6 einschließt! So 1. Problem: Was ist die Formel für eine Normale? Man muss doch die Normale von fk(x) = -(1/3)x³ + kx abziehen und davon das Integral berechnen oder? und was da rauskommt gleich 6 setzen und nach k auflösen! |
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| 14.10.2006, 23:21 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo! Die Steigung der Normalen wird aus der Steigung der Tangente ermittelt und lautet Gr mYthos |
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| 15.10.2006, 12:20 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Aufgabe zur Integralrechnung!
Die Normale ist eine Gerade, die senkrecht auf der Tangenten steht. Die Steigung der Normalen kannst du mit der Formel von mYthos bestimmen. Da die Normale durch den Wendepunkt geht, kannst du aus Steigung und Punkt die Geradengleichung aufstellen. Bei der Fläche ist nicht so ganz klar, um welche eingeschlossene Fläche es da geht. Bitte klären, ob das der Original-Wortlaut der Aufgabe ist. |
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| 15.10.2006, 12:43 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@klarsoweit: Es ist klar so weit 
Denn bei der Fläche handelt es sich um jene, die die Normale mit der Kurve einschließt. ----------------- @Falke Dazu muss die Normale mit der Kurve geschnitten werden. Da es - neben dem Wendepunkt W(0;0) - noch zwei ursprungssymmetrisch liegende Schnittpunkte gibt, genügt es, das bestimmte Integral (der Differenz der Kurven- und der Normalengleichung) in den Grenzen von Null bis zu einem der Schnittpunkte zu nehmen, und dieses 3 (halbe Fläche) zu setzen. Da du dies selbst rechnen sollst, gebe ich hier nur einige Zwischenergebnisse: Normale: Schnittpunkt (im 1. Quadranten): [k = 1] Auch eine kleine Skizze dazu ist hilfreich. Schreibe bitte, wie und ob du diese Aufgaben nun lösen konntest. mY+ |
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| 15.10.2006, 21:20 | Falke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wollte gerade anfangen sie zu lösen, nur als ich das in mein CAS Taschenrechner eingegeben habe: -(1/K)x = -(1/3)x³ + kx kam x= -Wurzel aus - 3K²+3 geteilt duch Wurzel aus -K raus und das hat mich sehr verwirrt, da man ja aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen kann! |
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| 15.10.2006, 21:33 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Warum versuchst du denn nicht, das Ganze selbst zu lösen???! Da lernst du doch viel mehr. Entweder du hast es falsch eingegeben oder dein CAS ist irgendwie komisch. Gruß MSS |
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| 15.10.2006, 21:59 | Falke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nö das bekomme ich gar nicht hin ohne Taschenrechner und er spuckt immer wieder dieses Ergebnis aus! |
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| 15.10.2006, 22:02 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Tjaja ... schon blöd. Und mit der Alternative es selber nachzuvollziehen kannst du dich gar nicht anfreunden? |
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| 15.10.2006, 22:08 | Falke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich würde es machen, wenn ich wüsste, wie es geht! |
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| 15.10.2006, 22:11 | Rex18 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hab es mal in den CAS eingegeben und da kommt tatsächlich son Mist raus! |
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| 15.10.2006, 22:12 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bringe alles auf eine Seite, klammere aus und dann löse die quadratische Gleichung in der Klammer. Das sollte machbar sein. Gruß MSS |
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| 15.10.2006, 22:16 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Gleichung hat zunächst den Grad 3; durch Faktorisierung (Ausklammern) von x ergibt sich die erste Lösung (= 0), das ist der Wendepunkt himself. Jetzt bleibt eine rein quadratische Gleichung, deren Lösung einfach durch Wurzelziehen zu ermitteln ist (hier nur die positive Lösung, wie bereits beschrieben). Bei allem hier kann der TR nur soweit helfen, dass du damit dein zuvor manuell Errechnetest überprüfst. Nur durch die eigene Rechnung kannst du das Beispiel wirklich in allen Schritten nachvollziehen. Übrigens: Wie hast du die Gleichung der Normalen gefunden? mY+ |
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| 15.10.2006, 22:51 | Falke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja das mit dem Ausrechnen versuch ich mal morgen! Zu der Gleichung der Normalen, diese lautet ja: -(1/mt)x ! Also habe ich mt ausgerechnet und das macht man ja mit der ersten Ableitung! mt= x² + k Dann setze ich fü x 0 ein, da die Funktion ja auf jeden Fall durch (0|0) geht und dann hab ich: mt=k |
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| 15.10.2006, 22:59 | Falke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Habe das rechnen grad nochmal versucht und bekomm es einfach nicht hin und ich verstehe nicht, warum der CAS es nicht hinbekommt! Ich habe ins CAS Menü folgendes eingegeben: solve(-(1/K)x=-(1/3)x³+Kx) |
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| 15.10.2006, 23:04 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Versuche, in den TR unter solve() die Gleichung so -(1/k)*x=-(1/3)*x^3+k*x einzugeben, also MIT dem Operationszeichen (*), bei mir berechnet DERIVE so das Richtige. Und ja, deine Berechnung der Normalen ist OK! Noch zur manuellen Berechnung: ... Nach dem Ausklammern von x und Multiplikation bleibt: ... ist doch nicht so schwer !? |
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| 15.10.2006, 23:08 | Falke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe es gemacht und es kommt immer noch das Ergebnis raus, was ja eigentlich, dasselbe ist, dass sie ausgerechnet haben, nur dass unter den Wurzeln noch immer ein Minus steht! |
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| 15.10.2006, 23:16 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn unter der Wurzel sowohl der Zähler, als auch der Nenner negativ ist, stimmt es ja wieder, denn dieses kann man dann "herausziehen" (-1 ausklammern) und kürzen.
Wenn damit x= -Wurzel aus - 3K²-3 geteilt duch Wurzel aus -k gemeint ist, ist es so, wie oben beschrieben, die negativen Vorzeichen sind herauszuziehen, das Ergebnis ist dann reell. |
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| 15.10.2006, 23:29 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann sollte die Wurzel aber über dem ganzen Bruch stehen und nicht über Zähler und Nenner einzeln (da es dann wieder nicht definiert wäre). Gruß MSS |
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| 15.10.2006, 23:42 | fALKE | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ach verdammt, na klar kann ich das -mit -1 machen, sorry bin ich net drauf gekommen ^^ So und nun muss ich doch das Integral bestimmen von 0 bis zu diesem komischen Wert von der Funktion (-(1/3)x^3+kx) - (-(1/K)x) oder? Und das dann gleich 3 setzen! |
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| 16.10.2006, 02:03 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das sollte durchaus so sein; ich machte damit lediglich einen Versuch, die manchmal kuriosen Ergebnisse eines CAS zu interpretieren ... @falke Die weitere Rechnung scheint zunächst ungemütlich zu werden (Gleichung 4. Grades in k), wobei man aber geschickt zusammenfassen und ausnützen kann, dass k definitionsgemäß nur positiv ist. Das Integral ... (selbst berechnen) wird zu und nach Einsetzen der Grenzen ist Jetzt zusammenfassen, kürzen, die Quadratwurzel (nur positive) ziehen ... mY+ |
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| 16.10.2006, 11:39 | Falke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habs dann doch lieber mit dem CAS gemacht und dann steht da (3(K²+1)²)/4K² = 3 und somit ist k = 1 ! Ist doch das richtige Ergebnis oder? |
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| 16.10.2006, 12:16 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Setze es doch mal zur Probe in die Gleichung ein, dann siehst du es ... Ja, es stimmt natürlich. mY+ |
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