Integrieren im Mehrdimensionalen

24.01.2010, 14:38	Galileo995703	Auf diesen Beitrag antworten »
Integrieren im Mehrdimensionalen Hey Leute, ich hab nen Problem mit der Herangehensweise bei folgender Aufgabe: Gegeben sei $\begin{eqnarray} G:=\left\{ (x,y,z)\in \mathbb R ^3\| x,y,z\geq 0,x+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}\leq 0 \right\} \end{eqnarray}$ Bestimmen SIe das Volumen V(G) des Gebietes G. Ich weiß, da ich x,y,z hab muss ich ein dreifach-Integral benutzen...und y und z kann ich ja aus der Ungleichung her umformen zu: $\begin{eqnarray} 0\leq y\leq 2-2x-\frac{2}{3}z \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0\leq z\leq 3-3x-\frac{3}{2}y \end{eqnarray}$ Nur müsst ich doch jetzt für x jeweils 2 Werte haben, und keine Funktion, oder? X würde ja hierbei von 0 bis....hmm...laufen, oder?
24.01.2010, 14:46	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integrieren im Mehrdimensionalen Du musst deine Menge G als Normalbereich beschreiben. Fange am besten bei $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ an, in dem du deine Ungleichung nach $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ umstellst. Im nächsten Schritt $\begin{eqnarray} z=0 \end{eqnarray}$ setzen und entsprechend nach $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ umformen. Und so weiter...
24.01.2010, 14:51	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integrieren im Mehrdimensionalen $\begin{eqnarray} x,y,z \geq 0 \end{eqnarray}$ steht aber jetzt nicht für $\begin{eqnarray} x\geq 0,y\geq 0,z\geq 0 \end{eqnarray}$ oder?
24.01.2010, 14:56	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integrieren im Mehrdimensionalen Doch, doch. Das wird in aller Regel (leider) so geschrieben.
24.01.2010, 14:57	Galileo995703	Auf diesen Beitrag antworten »
oh, ich seh gerade, ich hab einen fehler gemacht...das gebiet lautet: $\begin{eqnarray} G:=\left\{ (x,y,z)\in \mathbb R ^3\| x,y,z\geq 0, x+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}\leq 1\right\} \end{eqnarray}$ Die Ungleichung nach z umgestellt ergibt: $\begin{eqnarray} z\leq 3-3x-\frac{3}{2}y \end{eqnarray}$ wenn ich nun $\begin{eqnarray} z=0 \end{eqnarray}$ setze, bekommich für y: $\begin{eqnarray} y\leq2-2x \end{eqnarray}$ , und hir nun $\begin{eqnarray} y=0 \end{eqnarray}$ gesetzt, ergibt: $\begin{eqnarray} x\leq 1 \end{eqnarray}$ somit hätte ich nun für mein dreifach-integral die folgenden grenzen, oder? $\begin{eqnarray} 0\leq x\leq 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0\leq y\leq 2-2x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0\leq z\leq 3-3x-\frac{3}{2}y \end{eqnarray}$ jetzt muss ich hierfür nurnoch die konstante 1-funktion integrieren, oder?
24.01.2010, 15:03	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Das müsste jetzt so passen. Und ja, wenn das Volumen gefragt ist, musst du über 1 integrieren...
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24.01.2010, 15:12	Galileo995703	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur um mich nochmal zu vergewissern, am Ende kommt für das Volumen 1 raus, oder ?
24.01.2010, 15:20	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, 1 PS: Hab mich schon gewundert, warum x größer als Null und dann kleiner als Summe zweier negativer Zahlen ist.
24.01.2010, 15:49	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst ja auch selbst nachprüfen, weil es einfach eine schiefe Pyramide ist

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