(eine) Minimums- / Maximumsfunktion, Stetigkeit

24.01.2010, 14:40	Tarnfara	Auf diesen Beitrag antworten »
(eine) Minimums- / Maximumsfunktion, Stetigkeit Hallo, meine Aufgabe: Sei X ein folgenkompaktes Intervall in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f: I \to \mathbb R \end{eqnarray}$ eine Funktion. Definiere durch: $\begin{eqnarray} m(a) := \min_{x \in I , x \le a} f(x) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} M(a) := \max_{x \in I, x \le a} f(x) \end{eqnarray}$ Funktionen. Zeigen Sie, dass m und M wohldefiniert und stetig sind, falls f stetig ist. Bleibt der Schluss gültig, falls "stetig" durch "gleichmäßig stetig" ersetzt wird? Dass beide Funktionen wohldefiniert sind, habe ich gezeigt, wobei ich allerdings als Zusatzvoraussetzung gefordert habe, dass I nichtleer ist (Ich konnte dazu nichts Weiteres in meinem Skript finden, möglicherweise, übersehe ich da was, da ich mich im Moment deutlich mehr mit meinen anderen Fächern als mit Mathe beschäftige (Klausuren und so)). Die zweite Teilaufgabe ist doch ein Scherz oder ? Soweit ich das sehen kann, impliziert gleichmäßige Stetigkeit ja Stetigkeit, also muss der Schluss erhalten bleiben. Probleme bereitet es mir, die Stetigkeit der Funktionen zu zeigen. Anschaulich scheint mir der Sachverhalt klar zu sein, aber ich bekomme es einfach nicht formalisiert. Die Maximumsfunktion stelle ich mir so vor. Sagen wir, ich habe eine Funktion auf einem Intervall und wandere nun von links nach rechts die einzelnen Funktionswerte ab, dann bildet meine Maximumsfunktion auf den jeweils höchsten aktuellen Wert ab, falls meine Funktion sinkt, bleibt das Maximum eben konstant. Zu "Sprüngen" also unstetigen Stellen kann es dabei nicht kommen, da die zugrunde liegende Funktion f ja selbst stetig ist, also "allmählich" ansteigt. Hilfe ? P.S.: Bei meinen Formalisierungsversuchen habe ich versucht, irgendwie den Zwischenwertsatz auszunutzen, komme dabei aber auf nichts Brauchbares. [Edit] Kann es sein, dass ich eine Fallunterscheidung machen muss ? Also I in Teilintervalle unterteilen, wo f jeweils sinkt oder konstant bleibt und da, wo f strikt monoton wachsend ist ?
24.01.2010, 17:38	Tarnfara	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (eine) Minimums- / Maximumsfunktion, Stetigkeit Ich bin etwas weiter gekommen, denke ich: Zunächst einmal hatte ich in Aufgabe 1) nachgewiesen, dass I und dementsprechend jedes Teilintervall zu vorgelegtem a aus I abgeschlossen ist. Ich hatte dann $\begin{eqnarray} I = [l,r] \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} l,r \in \mathbb R \end{eqnarray}$ geschrieben und entsprechend zu einem a $\begin{eqnarray} J_a := [l, a] \end{eqnarray}$ definiert, um mir die Schreibarbeit zu erleichtern. Wenn nun m in einem Punkt $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ nicht stetig wäre, dann gäbe es ein $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \; \forall \delta > 0 \; \exists x \in \mathbb B_{\delta}(x_0) : \left\| m(x) - m(x_0) \right\| > \epsilon \end{eqnarray}$ Ich habe nun weiter überlegt, ist $\begin{eqnarray} x < x_0 \end{eqnarray}$ , so muss es ein $\begin{eqnarray} a \in [l, x_0] \backslash [l,x] \end{eqnarray}$ geben, so dass $\begin{eqnarray} f(a) < \min{f([l,x])} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \left\| f(a) - m(x_0) \right\| > \epsilon \end{eqnarray}$ ist, da sonst das Minimum der Bilder der beiden Intervalle dasselbe wäre. seufz Glaub, das ist auch nicht ganz richtig. Grüße

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