Potenz einer Matrix

24.01.2010, 13:45	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenz einer Matrix Hallo, ich sitze gerade an einer Übungsaufgabe, weiß aber nicht wirklich, wie ich rangehen soll. Die Aufgabe lautet Eine quadratische Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ sei diegonalisierbar als $\begin{eqnarray} D=PAP^{-1} \end{eqnarray}$ mit einer Diagonalmatrix $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ und einer regulären Matrix $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} D^n=PA^nP^{-1} \end{eqnarray}$ Also anscheinend kann man damit leicht höhere Potenzen von diagonalisierbaren Matrizen ausrechnen. Aber wie beweise ich diesen Zusammenhang? Hat jemand einen Tipp oder eine Idee? Grüße Bullet1000
24.01.2010, 14:05	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion. Der Beweis ist nahezu trivial.
24.01.2010, 14:05	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenz einer Matrix Tipp: Schreibe D² einmal aus.
24.01.2010, 14:12	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Na ja, $\begin{eqnarray} D^2=D \cdot D = (PAP^{-1}) \cdot (PAP^{-1}) \end{eqnarray}$ Aber wieso ist das jetzt gerade $\begin{eqnarray} PA^2P^{-1} \end{eqnarray}$ ???
24.01.2010, 14:17	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Matrixmultiplikation ist assoziativ, d.h. es ist $\begin{eqnarray} (PAP^{-1}) \cdot (PAP^{-1}) = PA \cdot (P^{-1} \cdot P) \cdot AP^{-1} \end{eqnarray}$ .
24.01.2010, 14:20	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so, danke. Kann ich dieses Prinzip jetzt auch einfach auf den Induktionsbeweis anwenden? Also quasi $\begin{eqnarray} D^{n+1}=\underbrace{(PAP^{-1})(PAP^{-1})\cdot ... \cdot(PAP^{-1})}_{(n+1)-mal} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\underbrace{PA(P^{-1}P)AP^{-1}(P^{-1}P)AP^{-1}\cdot ... \cdot (P^{-1}P)AP^{-1}}_{(n+1)-mal} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =PA^{n+1}P^{-1} \end{eqnarray}$
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24.01.2010, 14:28	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Na was glaubst du wohl, warum tigerbine diesen Vorschlag gemacht hat?

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