Reihe berechnen

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14.10.2006, 23:10	f(x)	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihe berechnen Hallo! Kann mir jemand sagen (oder zumindest Tipps geben), wie man folgende Reihe berechnet? $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^\infty~( ia^i) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} 0<a<1 \end{eqnarray*}$
14.10.2006, 23:31	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, eine ähnliche Aufgabe hatten wir hier: Grenzwert bzw. ganz IR als Häufungsp. EDIT: Falls du morgen nochmal reinschaust, weil du nicht weitergekommen bist, wird dir das weiterhelfen: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n kq^k = \sum_{m=1}^n \sum_{k=m}^n q^k \end{eqnarray}$ . Jetzt musst du nur noch ein paar mal die geometrische Summenformel anwenden und vereinfachen. Anschließend den Grenzübergang $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ durchführen... Gruß, therisen
14.10.2006, 23:44	f(x)	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, erst einmal danke. Ich gucke mir die Lösung aber später an. Wenn ich dann noch Fragen habe, stelle ich sie.
16.10.2006, 08:29	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihe berechnen Ich hätte da noch einen Vorschlag: Sei $\begin{eqnarray} f_n(x) = x^n \end{eqnarray}$ . Dann ist: $\begin{eqnarray} f(x) := \sum_{i=1}^\infty~f_i(x) = \frac{x}{1-x} \end{eqnarray}$ für 0<x<1 $\begin{eqnarray} f'(x) = \sum_{i=1}^\infty~f_i'(x) = \sum_{i=1}^\infty~i \cdot x^{i-1} \end{eqnarray}$ Daraus folgt: $\begin{eqnarray} a \cdot f'(a) = a \cdot \sum_{i=1}^\infty~i \cdot a^{i-1} = \sum_{i=1}^\infty~i \cdot a^i \end{eqnarray}$ EDIT: das ganze nochmal mit entsprechenden Begründungen: Sei $\begin{eqnarray} f_i(x) = x^i \end{eqnarray}$ . Wähle $\begin{eqnarray} 0 < \Theta < 1 \end{eqnarray}$ Dann ist die Funktionenfolge $\begin{eqnarray} F_n(x) := \sum_{i=1}^n~f_i(x) \end{eqnarray}$ stetig differenzierbar und konvergiert gleichmäßig im Intervall $\begin{eqnarray} 0 \leq x \leq \Theta \end{eqnarray}$ gegen eine Funktion F(x). (Anmerkung: punktweise Konvergenz würde schon reichen). Es ist also $\begin{eqnarray} F(x) = \lim_{n \to \infty}~F_n(x) = \sum_{i=1}^\infty~f_i(x) = \frac{x}{1-x} \end{eqnarray}$ Wir betrachten nun die Ableitung $\begin{eqnarray} f'_i(x) = i \cdot x^{i-1} \end{eqnarray}$ Die Supremumsnorm auf dem Intervall $\begin{eqnarray} 0 \leq x \leq \Theta \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \|\|f'_i\|\| = i \cdot \theta^{i-1} \end{eqnarray}$ Weiter ist $\begin{eqnarray} \lim_{i \to \infty}~\frac{\|\|f'_{i+1}\|\|}{\|\|f'_i\|\|} = \lim_{i \to \infty}~\frac{i+1}{i} \cdot \Theta = \Theta < 1 \end{eqnarray}$ Nach dem Quotientenkriterium konvergiert also $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^\infty~\|\|f'_i\|\| \end{eqnarray}$ und nach dem Satz von Weierstraß konvergiert $\begin{eqnarray} F'_n(x) = \sum_{i=1}^n~f'_i(x) \end{eqnarray}$ gleichmäßig gegen eine Funktion $\begin{eqnarray} F^(x) \end{eqnarray}$ und es ist $\begin{eqnarray} F^(x) = F'(x) \end{eqnarray}$ . Es ist also $\begin{eqnarray} F'(x) = \sum_{i=1}^\infty~f_i'(x) = \sum_{i=1}^\infty~i \cdot x^{i-1} \end{eqnarray}$ Daraus folgt: $\begin{eqnarray} a \cdot F'(a) = a \cdot \sum_{i=1}^\infty~i \cdot a^{i-1} = \sum_{i=1}^\infty~i \cdot a^i \end{eqnarray}$
18.10.2006, 15:09	f(x)	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, die Antwort von Therisen verstehe ich, auch wenn ich lange überlegt habe, warum $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n~kq^k = \sum_{m=1}^n~ \sum_{k=m}^n~q^k \end{eqnarray}$ . Aber das ist jetzt klar. Also gilt: $\begin{eqnarray} \sum_{m=1}^n~ \sum_{k=m}^n~q^k = \sum_{m=1}^n~ (\sum_{k=1}^n~q^k - \sum_{k=1}^{m-1}~q^k) \end{eqnarray}$ Die beiden Summen in der Klammer kann man auflösen (geometr. Reihe) und kann danach das letzte Summenzeichen auch auflösen, wobei man dann wieder eine geom. Reihe aufzulösen hat. Ich hab das schon auf Papier durchgeführt, bis zu dem Punkt, wo mir der Rest klar war. Aber die Version von klarsoweit ist mir noch nicht klar. Die gucke ich mir später nochmal an. Was bedeuten denn eigentlich diese "Doppelten Betragsstriche" und warum heißt die Funktion ausgerechnet F und nicht G oder so?
18.10.2006, 17:35	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, meinen Weg hast du verstanden. Klarsoweit hat ganz schöne Geschütze aufgefahren, die du wahrscheinlich noch nicht verwenden darfst (sonst würden dir die doppelten Betragsstriche wohl etwas sagen ). Nichtsdestotrotz eine schöne, analytische Lösung Ist dir wenigstens klar, worauf klarsoweits Lösung hinausläuft? Das steht nämlich noch nicht explizit da Gruß, therisen
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18.10.2006, 23:23	f(x)	Auf diesen Beitrag antworten »
In seiner letzten Zeile steckt irgendwie eine Rekursion. Aber mir wird nicht klar, wie mir das zur Lösung verhilft. Kannst du mir das noch ein wenig genauer erläutern?
19.10.2006, 00:16	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, mit einer Rekursion hat das nichts zu tun. Vielmehr gilt letztendlich $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^\infty i \cdot a^i = a \cdot F'(a) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} F(a) = \frac{a}{1-a} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 0<a<1 \end{eqnarray}$ . Das bedeutet also, dass die Bestimmung des Reihenwertes auf die Differentiation einer Funktion zurückgeführt werden konnte. Gruß, therisen
19.10.2006, 14:09	f(x)	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, dann ist also $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty~ka^k = \frac{a}{(1-a)^2} \end{eqnarray}$ für 0<a<1. Danke
19.10.2006, 16:33	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »

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