Folgengrenzwert

24.01.2010, 16:58

TimTim

Folgengrenzwert

Hi, ich hätte mal wieder ne Frage! Ich frische grad mein Wissen für die anstehende Klausur auf und bin da noch ganz am Anfang bei Folgen. Angenommen ich habe eine Folge gegeben für die ich bestimmen soll ob sie kovnergent/divergent ist, so geht ja folgender Lösungsweg:

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{n^{2}+1}{2n^{2}-1}=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{n^{2}(1+\frac{1}{n^{2}})}{n^{2}(2-\frac{1}{n^{2}})}=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{1+\frac{1}{n^{2}}}{2-\frac{1}{n^{2}}}=\frac{\underset{n\rightarrow\infty}{lim}1+\frac{1}{n^{2}}}{\underset{n\rightarrow\infty}{lim}2-\frac{1}{n^{2}}}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Die Rechnung ist soweit korrekt, und als Ergebnis erhält man, dass die Reihe konvergent gegen $\begin{eqnarray*} 1/2 \end{eqnarray*}$ ist.

Nun ein weiteres Beispiel:

Ich weiss aus Erfahrung, dass diese Folge divergent ist aber ich frage mich wodran ich das hier sehe:

$\begin{eqnarray*} \underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{4n^{4}-1}{-8n-1}=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{n^{4}(4-\frac{1}{n^{4}})}{n^{4}(\frac{-8n}{n^{4}}-\frac{1}{n^{4}})}=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{4-\frac{1}{n^{4}}}{\frac{-8n}{n^{4}}-\frac{1}{n^{4}}}=\frac{\underset{n\rightarrow\infty}{lim}4-\frac{1}{n^{4}}}{\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{-8n}{n^{4}}-\frac{1}{n^{4}}}=\frac{4}{0} \end{eqnarray*}$

Liegt es an der 0 im Nenner? Und wenn ja - welche Aussage kann ich dann über die divergenz treffen im hinblick auf bestimmte/unbestimmte divergenz?

(ich hoffe die zweite rechnung ist korrekt)

Grüße, TimTim

24.01.2010, 17:04

Bullet1000

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klammer doch einfach nur $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} n^4 \end{eqnarray*}$ aus

24.01.2010, 17:05

pseudo-nym

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Du kannst die Folge der Kehrwerte betrachten. Wenn sie eine Nullfolge ist (was sie sein wird), so ist die ursprüngliche Folge unbeschränkt. Vorzeichenbetrachtungen bzgl. der Folgeglieder führen dann zu bestimmter Divergenz gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ .

Edit: Bullets Weg ist schneller (sowohl gepostet wie auch ausgeführt) und schöner. Ich gebe mich in allen Punkten geschlagen...

@Signatur: Teufel

So wie' momentan dasteht, ist Ferien ein Wochentag. Wenn du Ferien als Menge von Tagen auffasst, müssen die Mengenklammern weg.

24.01.2010, 17:14

TimTim

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@ Bullet100: Dann wäre die Rechnung so korrekt ja?

$\begin{eqnarray*} \underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{4n^{4}-1}{-8n-1}=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{n(4n^{3}-\frac{1}{n})}{n(-8-\frac{1}{n})}=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{4n^{3}-\frac{1}{n}}{-8-\frac{1}{n}}=\frac{\underset{n\rightarrow\infty}{lim}4n^{3}-\frac{1}{n}}{\underset{n\rightarrow\infty}{lim}-8-\frac{1}{n}}=\frac{\infty}{-8} \end{eqnarray*}$

Und da unendlich im Zähler steht und keine 0 im Nenner, ist sie bestimmt divergent.
Würde jetzt (angenommen) im Nenner eine 0 stehen, so wäre sie unbestimmt divergent?

Zweite Frage:
Ich dachte immer man sollte möglichst versuchen den größten Exponenten zu entfernen oder sollte man den größten Exponenten des Nenners nehmen?

@pseudo-nym

Bei deinem Weg ... müsste ich doch einfach nur Zähler und Nenner tauschen gelle?

//Edit:

Ja die Signatur ... ich änder sie jede Woche wieder um und immer ist irgendwas falsch *gg*!

24.01.2010, 17:17

Bullet1000

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Ja, so wäre es korrekt.

Das mit dem größten Exponenten ist ganz gut, wenn dieser im Nenner ist

24.01.2010, 17:26

TimTim

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Ok eine Folge hätte ich nochmal zur Korrektur, da weiss ich nicht wie ich das Formal korrekt aufschreibe:

$\begin{eqnarray*} \underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{-7n}{-8(-1)^{n}n^{2}}=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{n^{2}(-\frac{7n}{n^{2}})}{n^{2}(-8(-1)^{n})}=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{-\frac{7n}{n^{2}}}{-8(-1)^{n}}=\frac{\underset{n\rightarrow\infty}{lim}-\frac{7n}{n^{2}}}{\underset{n\rightarrow\infty}{lim}-8(-1)^{n}}=\frac{0}{?} \end{eqnarray*}$

Was schreibe ich da bitte in den Nenner rein? ich meine, $\begin{eqnarray*} -8(-1)^n \end{eqnarray*}$ divergiert ja unbestimmt!

Spontan würd ich sagen, die Reihe konvergiert mal gegen 0 aber wie schreib ich das mit dem Nenner korrekt auf?

24.01.2010, 17:33

pseudo-nym

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Zitat:

Original von TimTim
Würde jetzt (angenommen) im Nenner eine 0 stehen, so wäre sie unbestimmt divergent?

Wenn das vorkommt, dann hast du nicht die niedrigere Potenz ausgeklammert.

Zitat:

Original von TimTim
Bei deinem Weg ... müsste ich doch einfach nur Zähler und Nenner tauschen gelle?

Ja.

Zitat:

Original von TimTim
$\begin{eqnarray*} \underset{n\rightarrow\infty}{lim}\frac{-\frac{7n}{n^{2}}}{-8(-1)^{n}}=\frac{\underset{n\rightarrow\infty}{lim}-\frac{7n}{n^{2}}}{\underset{n\rightarrow\infty}{lim}-8(-1)^{n}} \end{eqnarray*}$

Ein solcher Schritt funktioniert nur, wenn sowohl Zähler als auch Nenner konvergieren.
Du musst die Folge so in Teilfolgen aufteilen, sodass der Nenner in beiden Teilfolgen konvergiert.

24.01.2010, 17:57

TimTim

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d.h in diesem Fall unterteilen in an=2n und an=2n+1 ?

24.01.2010, 18:22

pseudo-nym

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24.01.2010, 18:53

TimTim

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Ok, nochmal zum Thema Folgengrenzwert, wie berchnet man Folgen dieser Art:

$\begin{eqnarray*} 4. \underset{n\rightarrow\infty}{lim}\left(1-\frac{2}{n^{2}}\right)^{n^{2}-1} \end{eqnarray*}$

Der gute Taschenrechner spuckt mir die E-Funktion aus .... aber ich hätte jetzt mal grad keinen Ansatz wie ich das berechnen könnte! Ideen?

Grüße, TimTim

24.01.2010, 19:13

pseudo-nym

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$\begin{eqnarray*} e^x=\lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{x}{m}\right)^m \end{eqnarray*}$ ist da sehr nützlich.

24.01.2010, 19:54

TimTim

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Und wie geh ich da weiter vor? Irgendwie abschätzen o.ä? Die Ähnlichkeit zu der Definition der E-Funktion ist mir auch aufgefallen aber ich hab keine Ahnung wie ich das zu meinem Vorteil nutzen kann!

24.01.2010, 20:11

pseudo-nym

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$\begin{eqnarray*} a_n = \left(1-\frac{x}{n^{2}}\right)^{n^{2}} \end{eqnarray*}$ kann man als Teilfolge von
$\begin{eqnarray*} b_m = \left(1+\frac{x}{m}\right)^m \end{eqnarray*}$ darstellen.

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