Eine nicht leare DGL 1. Ordnung

24.01.2010, 18:42

Camel

Eine nicht leare DGL 1. Ordnung

Weisst jemand wie man diese DGL 1.Ordnung lösen kann?
(1+x^2)y''+ (y')^2 + 1 = 0
Wir haben nur lineare Dgl gehabt und ich weiss nicht was ich hier machen soll.
Ich hab so aber angefangen:
Substitution:
z=y'
Dann bekomme ich so eine DGL:
(1+x^2)z'+ z^2 + 1 = 0
Dann z'= -(1+z^2)/(1+x^2)
Und weiter weiss ich nicht so genau wie man vorgehen soll.
Würde mich über jede Hilfe freuen!!!

24.01.2010, 18:54

vektorraum

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RE: Eine nicht leare DGL 1. Ordnung
Die Substitution ist korrekt, wie wäre es jetzt mit Trennung der Variablen?

25.01.2010, 17:36

Camel

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RE: Eine nicht leare DGL 1. Ordnung
Hab schon ausprobiert und geht auch nicht da man hier bekommt:
(1+x^2)z'+ z^2 = -1
Und da kann man keine Trennung der Variablen machen.

25.01.2010, 18:02

vektorraum

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RE: Eine nicht leare DGL 1. Ordnung
Warum denn nicht?

$\begin{eqnarray*} (1+x^2) \dd z = (-1-z^2) \dd x \end{eqnarray*}$

Und noch etwas umstellen.

25.01.2010, 22:23

Camel

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RE: Eine nicht leare DGL 1. Ordnung
Weil so wie ich weiss die Trennung der Variablen ist wenn die ganzes z's auf zum Beispiel linken Seite stehen und die ganzen x's sei es auf dem rechten und dann kann man integral anwenden und am Ende rücksubstituieren.
Aber hier:

$\begin{eqnarray*} (1+x^2)*z'=(-1-z^2) \end{eqnarray*}$
können wir das nicht machen entweder steht dann x daneben auf linken Seite oder dann z auf rechten.
Ich hab auch probiert so wie eine lineare DGL zu lösen mit homogenen Teil und inhomogenen hat's auch wenig gebracht.
Als Hinweis im Übungsblatt steht noch das man mit Hilfe der Beziehung:
$\begin{eqnarray*} tan(x+y)=tan(x)+tan(y)/1-tan(x)*tan(y) \end{eqnarray*}$
ehält man nach Umformen folgenden Ausdruck:
$\begin{eqnarray*} z=c-x/1+x*c \end{eqnarray*}$
Aber was genau ich hier machen soll verstehe ich nicht.

25.01.2010, 22:37

Rmn

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RE: Eine nicht leare DGL 1. Ordnung
Schau dir nochmal genauer an, was vektorraum geschrieben hat.

25.01.2010, 23:47

Camel

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RE: Eine nicht leare DGL 1. Ordnung
$\begin{eqnarray*} (1+x^2) \dd z = (-1-z^2) \dd x \end{eqnarray*}$
das einzige ist was man noch machen kann ist:
$\begin{eqnarray*} z'= -(1+z^2)/(1+x^2) \end{eqnarray*}$
Aber ich verstehe auch nicht was mir das bringen soll?

25.01.2010, 23:50

Camel

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RE: Eine nicht leare DGL 1. Ordnung
oder :

$\begin{eqnarray*} (1+x^2)/dx = (-1-z^2)/dz \end{eqnarray*}$
????

26.01.2010, 00:00

gonnabphd

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... das Reziproke davon? geschockt

26.01.2010, 00:15

Rmn

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RE: Eine nicht leare DGL 1. Ordnung

Zitat:

Original von Camel
oder :

$\begin{eqnarray*} (1+x^2)/dx = (-1-z^2)/dz \end{eqnarray*}$
????

mh ja...*hust*

Wie wärs zb mit $\begin{eqnarray*} dx/(1+x^2) = dz/(-1-z^2) \end{eqnarray*}$

26.01.2010, 19:03

Camel

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RE: Eine nicht leare DGL 1. Ordnung
ok dann jetzt kann man integrieren und bei dem ersten Teil:
$\begin{eqnarray*} dx/(1+x^2) \end{eqnarray*}$
bekommt man arctan x
Die einzige frage ist welche Grenzen muss man den in dem Fall bei dem Integral einsetzen?
Und beim zweiten Teil hab ich -arctan z bekommen und wie komme ich weiter ?
tan(arctan x) = x anwenden?
Oder?
Und was ist mit:
$\begin{eqnarray*} tan(x+y)=tan(x)+tan(y)/1-tan(x)*tan(y) \end{eqnarray*}$
???

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