Homogene lineare DGL's

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Lilli_ Auf diesen Beitrag antworten »
Homogene lineare DGL's
Hallo Wink

Versuche den Satz über homogene lineare Differentialgleichungen zu beweisen und hänge gerade unglücklich
Muss ich da Existenz und Eindeutigkeit zeigen? Oder kann ich von der Existenz ausgehen?

Hoffe mir kann da jemand von euch helfen!?

Liebe Grüße Lilli
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Wie genau lautet denn dieser Satz?

Gruß MSS
Lilli_ Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja nett Freude Hätte nicht gedacht, dass noch jemand wach ist!!

Also der Satz lautet: Sei I ein Intervall, x_0 Element I, a:I nach R eine stetige Funktion und y_0 Element R. Dann existiert genau eine Lösung Phi:I nach R des Anfangswertproblems
y'=y_0 mal y, y(x_0)=y_0,
nämlich Phi(x)=y_0 mal exp(int von x_0 nach x a(t)dt)

Sorry, aber kriege das leider mathematisch nicht hin unglücklich
Lilli_ Auf diesen Beitrag antworten »

[quote]Original von Lilli_

y'=y_0 mal y, y(x_0)=y_0,

Ich meinte natürlich y'=a(x) mal y Hammer
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ganze mal mit Latex:

Sei ein Intervall, , eine stetige Funktion und . Dann existiert genau eine Lösung des Anfangswertproblems

,

nämlich:

.

Ok, du hast schon richtig gesagt, dass du Existenz und Eindeutigkeit beweisen musst! Vielleicht habt ihr schon folgenden Spezialfall dieser DGL behandelt:

( konstant).

Die einzige Lösung ist dort bekannterweise . Deine DGL hat einen ähnlichen Aufbau, nur dass nicht notwendigerweise konstant sein muss. Um eine Lösung zu finden, kannst du aber in Analogie zu dem Bsp. ja mal den Ansatz



machen mit einer Funktion , die du noch nicht kennst. Setz das mal in die DGL ein und gucke, was herauskommt. Die Eindeutigkeit ist dann etwas kniffliger. Da muss man einen kleinen Trick anwenden. Nimm an, es gäbe außer noch eine weitere Lösung . Bilde den Quotienten

,

leite ihn mithilfe der Quotientenregel ab und nutze aus, dass die DGL erfüllt.

Gruß MSS
Lilli_ Auf diesen Beitrag antworten »

Wink Hallo Mathespezialschüler,

danke für deine Antwort. Mit dem g(x), kann ich dann nicht einfach sagen, dass die Existenz aus dem Satz der Trennung der Variablen erfolgt. Den Satz hatten wir nämlich schon (y'=f(x) g(x)) !?

Ich hab da jetzt auch einen Beweis gefunden, der zeigt das es zu jedem y_0 eine Lösung gibt. Zählt das nun zur Eindeutigkeit oder zur Existenz??? Oder hab ich da nicht schon beides gezeigt???

Bin ein bisschen verpeilt, sorry Hammer lieben Gruß Lilli
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht schreibst du einfach mal alles, was du so ansprichst, hier rein. Den Satz über die Trennung der Variablen würd ich gern mal sehen. Und ob der Beweis dir die Eindeutigkeit und die Existenz bringt, kann ich nicht sagen, bevor ich den Beweis nicht gesehen habe. Hast du vielleicht einen Link?

Gruß MSS
Lilli_ Auf diesen Beitrag antworten »

Hab das leider nicht aus dem Internet. Wollte dir das per Dateianhang schicken, ist aber anscheinend zu groß traurig
Was kann man denn da machen?? Kann ich dir das vielleicht per E-Mail schicken???
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Mach das, meine E-Mail-Adresse steht in meinem Profil. Ich werd mal sehen, ob ich das dann doch irgendwie ins Board bekomme ...

Gruß MSS
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