Faktorregel

25.01.2010, 15:15

FuFu92

Faktorregel

Hallo zusammen...

Könnte mir jemand vielleicht die Begründung der Faktorregel erklären?
In meinem Buch ist es zwar erklärt mit einem Graph, nur ich find es total komplitziert und hab das nicht verstehen können..

25.01.2010, 16:56

Mulder

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RE: Faktorregel
Was genau schwebt dir da denn vor? Den Beweis über den Differentialquotienten findet man zuhauf im Netz (und sicher auch in deinem Buch), beispielsweise hier. Aber das meinst du wohl nicht.

Du kannst es ja auch als Spezialfall der Produktregel auffassen (oder habt ihr die noch nicht gehabt, dann ignoriere diesen Teil):

$\begin{eqnarray*} f(x) = a \cdot g(x) \quad , \, \, a = \text{const.} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f'(x) = a \cdot g'(x) + 0 \cdot g(x) = a \cdot g'(x) \end{eqnarray*}$

Ansonsten: Ist dir denn anschaulich klar, was eigentlich die Ableitung einer Funktion ist? Wenn du eine Funktion f(x) gegeben hast, dann ist die Ableitung f'(x) ja gerade die Funktion, die an der Stelle x die Steigung von f angibt. Also: Wenn f'(a)=b, dann hat f an der Stelle a die Steigung b. Verständlich?

Und wenn du nun deine Funktion f(x) mit irgendeinem konstanten Faktor a multiplizierst, dann ändern sich, wenn man die x-Werte variiert, doch auch die zugehörigen Funktionswerte um das a-fache schneller. Weil die durch die Änderung des x-Wertes entstandene Differenz des Funktionswertes sich um das a-fache ändert. Oder anders gesagt: Die Steigung hat sich um das a-fache geändert.

Kleines Beispiel: f(x)=x.

Wenn man x um 1 verändert, ändert sich auch der Funktionswert um genau 1. Beispiel: f(2)=2 und f(3)=3. Also hat der Graph die Steigung 1 (überall). Passt ja auch, denn f'(x)=1.

Nun betrachte g(x)=2x

Wenn du hier x um 1 veränderst, ändert sich der Funktionswert um 2. Kleines Beispiel auch hier: f(2)=2 und f(3)=6. Aha, wir haben x um 1 verändert und der Funktionswert hat sich um 2 verändert. Also hat g eine doppelt so hohe Steigung wie f. Passt, denn g'(x)=2.

25.01.2010, 19:44

FuFu92

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Danke! echt super erklärt und hat mir wirklich weiter geholfen!
Und mehr brauch ich für die faktorregel nicht wissen?

25.01.2010, 19:56

Mulder

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RE: Faktorregel

Zitat:

Original von FuFu92
Und mehr brauch ich für die faktorregel nicht wissen?

Eigentlich nicht. Es steckt ja auch nicht wirklich viel dahinter, wenn man mal ehrlich ist. Ein konstanter Vorfaktor bleibt beim Ableiten erhalten, das ist alles.

$\begin{eqnarray*} f(x)=a \cdot g(x) \quad \Rightarrow \quad f'(x) = a \cdot g'(x) \quad \, \, \text{mit} \, \, a = \text{const.} \end{eqnarray*}$

Wenn du das verinnerlichst, dann kann nicht mehr viel schiefgehen.

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