permutationen

25.01.2010, 17:14

gruenerblob

permutationen

hallo und hier gleich nochmal eine frage zum verständniss zu permutationen.

also ich habe folgende matrix und soll alle permutationen in form der eben folgenden darstellungen zeigen.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 &3&4&5&6&7&8 \\ 1&8&6&4&3&2&7&5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

d.h. doch im prinzip dass ich die unterste zeile nach allen möglichkeiten vertausche oder?
habe aber auch wo gelesen, dass die spalten, die oben und unten die gleichen einträge haben feststehen und nicht vertauscht werden sollen.
das würde dann heißen dass ich nur die stelle 2 3 5 6 und 8 tausche.
dass würde dann ja heißen, da ich ja 5 versch. stellen zum vertauschen habe, es 5! möglichkeiten gibt = 120 möglichkeiten?! (kann irgendwie nicht sein die alle hinzuschreiben.)

also hab ich da irgendwie nen denkfehler drinnen.

wäre super wenn mir da jemand ein bisschen nachhilfe geben könnte.
aber bitte etwas nachsicht haben...bin net so der mathe held Augenzwinkern

)

danke euch!

25.01.2010, 17:47

Mazze

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Mir ist nicht ganz klar was dein/e Problem/Frage ist. Die Schreibweise :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 &3&4&5&6&7&8 \\ 1&8&6&4&3&2&7&5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bedeutet folgendes :

In der erste Zeile stehen Zahlen von 1..n. Die zweite Zeile beschreibt die Bilder der Permutation. Eine Permutation $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ist ja eine bijektive Abbildung

$\begin{eqnarray*} \sigma : \{1,...,n\} \to \{1,...n\} \end{eqnarray*}$

Daher kann man auch schreiben :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 &3&4&5&6&7&8 \\ \sigma(1) & \sigma(2) & \sigma(3) & \sigma(4) & \sigma(5) & \sigma(6) & \sigma(7) & \sigma(8) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} \sigma(1) = 1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \sigma(2) = 8 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \sigma(3) = 6 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \sigma(4) = 4 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \sigma(5) = 3 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \sigma(6) = 2 \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} \sigma(7) = 7 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \sigma(8) = 5 \end{eqnarray*}$

26.01.2010, 12:52

gruenerblob

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ok....
das was du geschrieben hast, kann ich so halbwegs nachvollziehen.

aber was muss ich jetzt bei der aufgabe machen wenn ich alle permutationen aufschreiben soll?

weil du hast ja im prinzip die untere reihe jetzt nur durch die (habs net so mit griechischen buchstaben) sigmas? ersetzt. und die danach einfach definiert.

dachte wenn ich permutationen aufschreiben soll muss ich sämtliche möglichen vertauschungen aufschreiben...

aber schon mal vielen dank für deine hilfe!

26.01.2010, 12:54

Mazze

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Du kannst nicht alle Permutationen aufschreiben, denn bei 8 Zahlen gibt es

$\begin{eqnarray*} 8! = 40320 \end{eqnarray*}$

verschiedene Permutationen. Vielleicht kannst Du ja mal den Original Wortlaut der Aufgabe posten.

26.01.2010, 13:14

gruenerblob

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klaro!

Stellen Sie alle Permutationen (griechisches zeichen was ausschaut wie ein o) S4 in Form der ersten Darstellung aus Aufgabe P28
dar.

und die Form war da genauso wie du es oben hingeschrieben hast.

wie gesagt weiß leider da überhaupt nicht was ich da machen soll.

danke nochmal

26.01.2010, 13:18

Mazze

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Na, da hast Du uns ja das wichtigste Unterschlagen, nämlich $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ . Das sind alle Permutationen mit 4 Zahlen und davon gibt es

$\begin{eqnarray*} 4! = 24 \end{eqnarray*}$ und das kann man aufschreiben. Als Tip : Schreibe die Permutationen systematisch auf : Beispiel anhand von $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe zu erst alle Permutationen die mit 1 beginnen aufgeschrieben. Dann diejenigen die mit 2 beginnen, dann die mit 3. Damit sollteste Du keine Permutation verpassen.

26.01.2010, 13:27

gruenerblob

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oh ok

entschuldigung!!!

wusste nicht dass S4 wichtig war. wie gesagt net so des mathe genie.

ach etz glaub ich hab ichs.

die ausgangsmatrix is nicht die die ich da gepostet habe sondern einfach beispielsweise

1 2 3 4
1 2 3 4

und da dann alle permutationen durch

so müsste es dann richtig sein oder?

VIELEN DANK!!!!

26.01.2010, 13:28

Mazze

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Zitat:

so müsste es dann richtig sein oder?

Ja, ist halt etwas Schreibarbeit. Aber ich durfte damals auch alle 24 aufschreiben.

26.01.2010, 14:02

gruenerblob

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super vielen dank.

sorry nochmal dass ich die hälfte vergessen habe.

danke!!!

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