Eulersche Dgl

25.01.2010, 19:10	nky	Auf diesen Beitrag antworten »
Eulersche Dgl a) Seien a0,a1eR. Zeigen Sie dass die Eulersche DGL x^2y'' + a1xy' + a0y = 0 für x>o mittels der Substitution x=e^u bzw. u=lnx in eine Dgl mit konstanten Koeffizienten umgeformt werden kann. b) Lösen Sie mit Hilfe des Ergebnisses aus Teil a) das AWP x^2y'' - xy' + y = 0 y(1)=-1 , y'(1)=1
25.01.2010, 19:37	nky	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo bitte um Hilfe!!
26.01.2010, 11:08	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegeben ist $\begin{eqnarray} x^2y''+a_1xy'+a_0y=0 \end{eqnarray}$ Wie Du richtig schreibst, macht man bei Eulerschen Dgl. die Substitution $\begin{eqnarray} \tilde x=\ln(x) \end{eqnarray}$ . Anstelle der alten Funktion y(x) führt man die neue Funktion $\begin{eqnarray} \tilde y( \tilde x) \end{eqnarray}$ ein und fordert $\begin{eqnarray} y(x)=\tilde y( \tilde x) \end{eqnarray}$ Damit können wir nun die alten Ableitungen y'(x) und y''(x) durch die neuen Variablen ausdrücken. Formales Ableiten ergibt mittels Kettenregel $\begin{eqnarray} y'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{d \tilde y[\tilde x(x)]}{dx}=\frac{d \tilde y}{d \tilde x} \cdot \frac{d \tilde x}{dx}=\frac{d \tilde y}{d \tilde x} \cdot \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ Die zweite Ableitung ergibt sich durch nochmaliges Ableitung unter Anwendung der Kettenregel und der Produktregel $\begin{eqnarray} y''(x)=\frac{d^2 \tilde y}{d \tilde x^2} \left ( \frac{d \tilde x}{dx}\right)^2+\frac{d\tilde y}{d\tilde x}\frac{d^2 \tilde x}{dx^2}=\frac{d^2 \tilde y}{d \tilde x^2} \left ( \frac{1}{x^2}\right)+\frac{d\tilde y}{d\tilde x} \left ( -\frac{1}{x^2}\right ) \end{eqnarray}$ Diese Ableitungen setzen wir in die gegebene Dgl. ein und sehen, dass die störenden Koeffizienten $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ wie gewünscht wegfallen. $\begin{eqnarray} \underbrace {\frac{d^2\tilde y}{d \tilde x^2}-\frac{d\tilde y}{d \tilde x}}_{x^2y''}}+{a_1 \frac{d \tilde y}{d \tilde x}+a_0 \tilde y(\tilde x)=0 \end{eqnarray}$ Fasse den 2. und 3.Summanden zusammen und du hast eine Dgl. mit konstanten Koeefizienten für die Funktion $\begin{eqnarray} \tilde y(\tilde x) \end{eqnarray}$ . Wende das bei Aufgabe b) an. Beachte dabei, dass man auch die Anfangswerte auf die neuen Variablen transformieren muss

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