L`Hospital ???

25.01.2010, 20:35

John007

L`Hospital ???

Wollt mal fragen ob das über Haupt mit L`Hospital geht und und ob mir auf den gleichen Nenner bringen weiter Hilft

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} = \frac{1}{ln(1+x)}- \frac{1}{ln(1+x+x²)} \end{eqnarray*}$

Bitte um Hilfe komm da nicht weiter

25.01.2010, 21:05

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Unter Nutzung der Hilfsfunktion

$\begin{eqnarray*} g(x) := \frac{1}{\ln(1+x)}-\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

kann man den gesuchten Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \left[ g(x)-g(x+x^2) + \left( \frac{1}{x}-\frac{1}{x+x^2} \right) \right] \end{eqnarray*}$

durch Berechnung der drei Einzelgrenzwerte bestimmen.

25.01.2010, 21:18

John007

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Wie kommst du auf das

ich check das nicht ganz

25.01.2010, 21:22

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Zitat:

Original von John007
Wie kommst du auf das

Durch ein gutes Auge und einige Erfahrung.

Aber du kannst auch gern direkt L'Hospital anwenden und dir die Finger wundrechnen - deine Entscheidung.

25.01.2010, 21:44

John007

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kannst du mir bitte beim lösungs ansatz fürL'Hospital helfen Gott

25.01.2010, 21:49

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Dem "originalen" ? So verrückt bin ich nicht, mir eine derartige Tortur anzutun, wenn ich einen weniger aufwändigen Weg kenne. geschockt

25.01.2010, 22:39

John007

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Danke

Ps: Wenn ich bei solchen Bsp auf den gleichen Nenner bringe bin ich nicht auf dem Holzweg Erstaunt2

25.01.2010, 22:46

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Eine weitere noch einigermaßen angenehme Option wäre die Potenzreihenentwicklung des Logarithmus:

$\begin{eqnarray*} \ln(1+x) = x + O(x^2) \end{eqnarray*}$ bzw. falls nötig $\begin{eqnarray*} \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + O(x^3) \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} O(\cdots) \end{eqnarray*}$ wie üblich das entsprechende Landau-Symbol für $\begin{eqnarray*} x\to 0 \end{eqnarray*}$ ist.

25.01.2010, 23:03

Mystic

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Eine weitere Option wäre folgende Umformung:

$\begin{eqnarray*} \frac 1{\ln(1+x)}-\frac 1{\ln(1+x+x^2)} =\frac {\frac 1x}{\ln (1+x)^{\frac 1x}}-\frac {\frac 1{x+x^2}}{\ln (1+x+x^2)^{\frac 1{x+x^2}}} \end{eqnarray*}$

Ich denke, danach sieht ein Blinder mit dem Krückstock, wie es weitergeht... Big Laugh

25.01.2010, 23:11

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Zitat:

Original von Mystic
Ich denke, danach sieht ein Blinder mit dem Krückstock, wie es weitergeht...

Durchaus - allerdings besitzen viele Blinde hier keine Krückstöcke - nur so ein Erfahrungswert von mir. Augenzwinkern

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