Beweis Spur

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25.01.2010, 21:01	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Spur Hallo, ich sitze mal wieder an einer Übungsaufgabe, weiß aber nicht wirklich, wie ich den Beweis führen soll. Es geht um folgendes: Seinen $\begin{eqnarray} W,V \end{eqnarray}$ endlichdinemsionale Vektorräume und $\begin{eqnarray} U \in L(V,W) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} S \in L(W,V) \end{eqnarray}$ lineare Abbildungen. Dann sind auch deren Hintereinanderausführungen wieder wieder Innerhalb von $\begin{eqnarray} L(V,W) \end{eqnarray}$ . Zu zeigen ist: $\begin{eqnarray} spur(U\circ S) = spur(S\circ U) \end{eqnarray}$ Also da weiß ich absolut nicht, wie ich das zeigen soll. Bereits gezeigt habe ich, dass: $\begin{eqnarray} spur(AB) = spur(BA) \end{eqnarray}$ Aber das hilft mir in diesem Falle nicht wirklich weiter. Hat jemand eine Idee dazu? Grüße Bullet
25.01.2010, 21:18	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
So wie es gerade da steht kann man die Komposition nicht bilden. Steht es anders da, erkläre mir wie ihr die Spur einer Abbildung definiert habt
25.01.2010, 21:25	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die Spur einer Abbildung war in der Aufgabe davor zur definieren und zu zeigen, warum es so SInn macht. Also sei $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ eine lin. Abbildung und $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ die darstellende Matrix dazu. Dann ist $\begin{eqnarray} spur(T):=spur(A) \end{eqnarray}$ Wenn ich mir die Gegebenheiten so ansehe, sieht man direkt: $\begin{eqnarray} U \circ S \in L(W;W) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} S \circ U \in L(V;V) \end{eqnarray}$ Hab auch nochmal geschaut. Die Aufgabenstellung lautet so, wie sie in meinem ersten Beitrag steht. Meinst du, da steckt ein Fehler drinnen?
25.01.2010, 22:04	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Schön hast du nochmal editiert Na also, nach der Definition bist du doch bereits fertig wenn du Spur(AB) = Spur(BA) schon gezeigt hast
25.01.2010, 22:07	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Echt? Aber das steht bei mir nochmal als Extra-aufgabe. Muss ich dann nicht evtl. noch zeigen, dass $\begin{eqnarray} spur(U\circ S)=spur(US)=spur(SU)=spur(S \circ U) \end{eqnarray}$ ist?
25.01.2010, 22:34	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist nicht bekannt dass die Darstellungsmatrix von U°S das Produkt der Darstellungsmatrizen von U und S ist?
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25.01.2010, 22:40	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm... Mir irgendwie nicht. Vielleicht ist es genau das, was zu zeigen ist. Wie stelle ich das am besten an?
25.01.2010, 22:45	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist einfach nur ausrechnen, ich sehe nicht mal wirklich was zu rechnen da die Aussage für mich klar ist
25.01.2010, 22:51	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm... ich weiß nicht. Für mich ist irgendwie nicht offensichtlich, dass $\begin{eqnarray} spur(U\circ S)=spur(US) \end{eqnarray}$ ist.
26.01.2010, 12:38	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn Ihr die Spur einer Abbildung über die Darstellungsmatrix definiert, dann ist es notwendig zuerst die Wohldefiniertheit zu beweisen, d.h. zu zeigen, dass die Spur von der gewählten Basis unabhängig ist. Dazu genügt es zu zeigen, dass für beliebige Matrizen $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ immer $\begin{eqnarray} {\rm Spur}(A)={\rm Spur}(B^{-1}AB) \end{eqnarray}$ ist. Ehe man das nicht gemacht hat, darf man gar nicht von der Spur einer linearen Abbildung sprechen! btw: Es wäre schön, Bullet, wenn Du zwischen der Abbildung und der Darstellungsmatrix unterscheiden würdest (z.B. $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} M_U \end{eqnarray}$ ). Beides gleich zu bezeichnen ist völlig verwirrend. Gruß, Reksilat.
26.01.2010, 17:44	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die Wohledfiniertheit habe ich bereits gezeigt. Dazu habe ich gezeigt, dass $\begin{eqnarray} spur(AB)=spur(BA) \end{eqnarray}$ ist. Daraus ergibt sich auch relativ schnell, dass man die Faktoren zyklisch vertauschen kann und daraus dann ebenfalls schnell die Wohldefiniertheit. Das habe ich alle bereits erledigt. Um nochmal Klarheit zu schaffen: $\begin{eqnarray} V,W \end{eqnarray}$ seien Vektorräume über dem Körper $\begin{eqnarray} \mathbb K \end{eqnarray}$ Zudem sind jetzt $\begin{eqnarray} U,S \end{eqnarray}$ lineare Abbildungen, wobei $\begin{eqnarray} U \in L_{\mathbb K}(V;W) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} S \in L_{\mathbb K}(W;V) \end{eqnarray}$ Ich soll jetzt zeigen, dass $\begin{eqnarray} spur(U \circ S) =spur(S \circ U) \end{eqnarray}$ Also die Spur der Hintereinanderausführung der beiden linearen Abbildungen. Wie ich bereits gezeigt habe ist die spur einer Abbildung nichts anderes, als die Spur der dazugehörigen darstellenden Matrix. Aber ich versteh jetzt nicht ganz, weshalb ich stand dem " $\begin{eqnarray} \circ \end{eqnarray}$ " einfach ein " $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ " zwischen den Matrizen machen kann. Also wieso bedeutet die Hintereinanderausführung zweier linearer Abbildungen, dass ich einfach die beiden darstellenden Matrizen multipliziere?
26.01.2010, 18:08	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann ist wirklich nur zu zeigen, dass die Darstellungsmatrix des Produkts zweier Abbildungen das Matrixprodukt der einzelnen zugehörigen Matrizen ist. Dazu: Sei $\begin{eqnarray} A\in L(V,W) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} B\in L(W,U) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \{v_1,..,v_n\} \end{eqnarray}$ Basis von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \{w_1,..,w_m\} \end{eqnarray}$ Basis von $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \{x_1,..,x_r\} \end{eqnarray}$ Basis von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ . Matrixdarstellung der Abbildungen sei $\begin{eqnarray} (a_{ij}) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} (b_{ij}) \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} Av_i=\sum_{j=1}^ma_{ji}w_j \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Bw_i=\sum_{j=1}^rb_{ji}x_j \end{eqnarray}$ Indem Du damit $\begin{eqnarray} (B\circ A)v_i \end{eqnarray}$ als Linearkombination der $\begin{eqnarray} x_j \end{eqnarray}$ darstellst, kannst Du die Matrixdarstellung von $\begin{eqnarray} B\circ A \end{eqnarray}$ berechnen. Das vergleichst Du dann mit dem Produkt der Matrizen $\begin{eqnarray} (a_{ij}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (b_{ij}) \end{eqnarray}$ welches Du nach den Regeln der Matrixmultiplikation erhältst. Ist pure Vorwärtsrechnerei.
26.01.2010, 18:30	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Also das Produkt von $\begin{eqnarray} (a_{ij}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (b_{ij}) \end{eqnarray}$ müsste sein $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} \end{eqnarray}$ Aber wie berechne ich jetzt $\begin{eqnarray} (B\circ A)v_{i} \end{eqnarray}$ Ich komm irgendwie mit dem Kringel nicht so richtig zurecht.
26.01.2010, 18:37	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (B\circ A)v_{i} \end{eqnarray}$ ist nichts anderes als $\begin{eqnarray} (B(A(v_{i})) \end{eqnarray}$ , also zuerst $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} v_i \end{eqnarray}$ anwenden und dann $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ . Das Produkt der beiden Matrizen stimmt auch noch nicht ganz. Schau Dir noch mal die Dimension der beiden Matrizen an, das passt bei Dir noch nicht. - Beachte auch die Reihenfolge, in der die Matrizen multipliziert werden müssen.
26.01.2010, 18:43	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so, es heißt ja A nach B. Also muss ich berechnen $\begin{eqnarray} (a_{ij})(b_{ij})=\sum\limits_{k=1}^r b_{ik}a_{kj} \end{eqnarray}$ Ich denke jetzt müsste dieses Produkt stimmen, oder? Über das andere dneke ich gerade noch nach grübel
26.01.2010, 18:47	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Laufindex stimmt noch nicht. Das $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ hat mit dem $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ schließlich auch nichts zu tun. Bezeichne das Produkt als $\begin{eqnarray} (c_{ij})_{i=1..r,j=1..n} \end{eqnarray}$ - dann ist $\begin{eqnarray} c_{ij}=\sum\limits_{k=1}^m b_{ik}a_{kj} \end{eqnarray}$
26.01.2010, 18:53	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Na ja, $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} v_{i} \end{eqnarray}$ anwenden heißt ja einfach, dass ich meine darstellende Matrix $\begin{eqnarray} (a_{ij}) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} v_{i} \end{eqnarray}$ multipliziere, oder? Also $\begin{eqnarray} (a_{ij})v_{i} \end{eqnarray}$ Und wenn ich darauf jetzt noch mein $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ anwende multipliziert sich jetzt diese darstellende Matrix noch mit dran, so dass am Ende übrig bleibt $\begin{eqnarray} (b_{ij})[(a_{ij})v_{i}] \end{eqnarray}$ So, jetzt habe ich beide Matrizen schon mal im Produkt stehen. Wie komme ich jetzt noch darauf, dass der Summationsindex der gleiche ist?
26.01.2010, 18:56	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe doch oben schon hingeschrieben, was $\begin{eqnarray} Av_i \end{eqnarray}$ ist. Du hast dann eine Linearkombination der $\begin{eqnarray} w_j \end{eqnarray}$ , auf die Du nun $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ anwenden und dann die Linearität ausnutzen kannst.
26.01.2010, 19:06	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so, also sieht das Ganze erstmal so aus: $\begin{eqnarray} (B \circ A)v_{i} = B(A(v_{i})) =B\left(\sum\limits_{j=1}^m a_{ji}w_{j}\right) \end{eqnarray}$ Ich hoffe, dass das wenigstens soweit stimmt. Ergibt sich da jetzt eine Doppelsumme?
26.01.2010, 19:31	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaub, ich hab es jetzt: Ich muss die Linearität nutzen. Danke für die Hilfe und die Geduld.

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