Bilden Vektoren eine Basis?

25.01.2010, 21:39

Karlo

Bilden Vektoren eine Basis?

Hallo,

hätte eine Frage zu diesen Vektoren:

$\begin{eqnarray*} \vec{z1} =\begin{pmatrix} 1 \\-3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{z2} =\begin{pmatrix} -1 \\2 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{z3} =\begin{pmatrix} 2 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bilden sie eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R 3 \end{eqnarray*}$ ?

Die Determinante ist ungleich 0, also linear unabhängig. Die zweite Voraussetzung wäre ja, dass sich jeder x-beliebige Vektor als Linearkombination von den obigen Vektoren darstellen lässt. Was ist damit genau gemeint bzw. ist es hier möglich?

Wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte...

25.01.2010, 22:13

Iorek

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Zitat:

Die zweite Voraussetzung wäre ja, dass sich jeder x-beliebige Vektor als Linearkombination von den obigen Vektoren darstellen lässt. Was ist damit genau gemeint bzw. ist es hier möglich?

Das heißt einfach nur, dass du jeden Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ als eindeutige Linearkombination deiner drei Vektoren darstellen kannst, d.h. du findest geeignete $\begin{eqnarray*} a,\ b,\ c \in \mathbb R:\ a\cdot \vec{z_1} + b\cdot \vec{z_2} + c \cdot \vec{z_3}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ .

Das geht natürlich, wenn du als $\begin{eqnarray*} z_1, z_2, z_3 \end{eqnarray*}$ die Einheitsvektoren hast, $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Diese sind offensichtlich linear unabhängig und du wirst geeignete $\begin{eqnarray*} a,\ b,\ c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ finden, um jeden Vektor damit als Linearkombination darzustellen.

Wenn du jetzt also z.B. über den Gaußalgorithmus, der lineare (Un-)abhängigkeiten erhält, deine Vektoren zu Einheitsvektoren umformen kannst, bilden sie eine Basis, andernfalls nicht. (Beachte: führe Spaltenumformungen durch).

Alternativ kannst du auch das LGS $\begin{eqnarray*} a\cdot z_1 + b\cdot z_2 + c\cdot z_3=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ lösen und wenn du nur die triviale Lösung $\begin{eqnarray*} a=b=c=0 \end{eqnarray*}$ erhälst, sind die Vektoren auch lin. unabhängig.

26.01.2010, 12:53

Reksilat

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Anmerkung: Der $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ hat die Dimension 3 und insofern ist eine linear unabhängige Menge mit drei Elementen immer auch schon maximal linear unabhängig, also auch eine Basis. Dass die drei Vektoren nun auch ein Erzeugendensystem bilden, muss deshalb nicht mehr gezeigt werden.

Es gilt:
B ist Basis <=> B ist maximal linear unabhängig <=> B ist minimales Erzeugendensystem

26.01.2010, 16:12

Karlo

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Super, besten Dank schon mal :-)

Hätte jedoch noch eine Zusatzfrage zu dieser Aufgabe:

Lässt sich der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} e ^\pi \\ 27 \\ 172! \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ als Linearkombination der Vektoren $\begin{eqnarray*} z_1, z_2, z_3 \end{eqnarray*}$ darstellen?

Ich würde das Ganze jetzt mit Gauß lösen, bin jedoch irritiert wegen der "sonderbaren" Werte im Vektor...

Edit: LaTeX korrigiert. Gruß, Reksilat.

26.01.2010, 16:15

Reksilat

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Wenn der Vektor im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ liegt, dann lässt er sich auch mit jeder Basis darstellen. Egal, ob er komisch aussieht. smile

Edit: Erster! :p

26.01.2010, 16:16

Iorek

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Wenn $\begin{eqnarray*} z_1,\ z_2,\ z_3 \end{eqnarray*}$ eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ bilden, dann lässt sich jeder Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\ \text{mit}\ x,y,z \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ daraus linear kombinieren.

Da deine Werte reelle Zahlen sind, sollte das also möglich sein, vollkommen egal wie sie aussehen smile

Edit: Die ersten werden die letzten sein! :P

26.01.2010, 16:53

Karlo

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Vielen Dank an euch beide smile

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