Diff'bare Funktion mit unstetigen partiellen Ableitungen

25.01.2010, 22:01

gonnabphd

Diff'bare Funktion mit unstetigen partiellen Ableitungen

Die Funktion ist

$\begin{eqnarray*} f(x,y):= \begin{cases}(x^2+y^2)sin(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} ) & x,y\neq 0 \\0 & x=y=0\end{cases} \end{eqnarray*}$

(Bem.: wie macht man eine geschweifte Klammer für solche Funktionen mit Latex?
Edit: Danke Tigerbine Big Laugh

, sieht schon besser aus!)

Aufgabe: Zeige, dass die Funktion f im Nullpunkt differenzierbar ist und das ihre beiden partiellen Ableitungen dort unstetig sind.

Dass die partiellen Ableitungen in 0 unstetig sind, ist klar:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x^2sin(1/|x|)}{x} = \pm 1 \end{eqnarray*}$

Aber wie sieht nun die Jacobimatrix $\begin{eqnarray*} J_f(0) \end{eqnarray*}$ aus? Es müsst doch für diese, (bzw. für die Ableitung, falls das in diesem Falle nicht dasselbe sein sollte??)

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h)-f(0)+J_f(0)\cdot h}{||h||}=\lim_{h \to 0} \frac{f(h)+J_f(0)\cdot h}{||h||}=0 \end{eqnarray*}$

gelten, wenn f differenzierbar ist.

25.01.2010, 22:03

tigerbine

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Tex-Translator

Zitat:

(Bem.: wie macht man eine geschweifte Klammer für solche Funktionen mit Latex?)

1. Reine Klammern

code:
1:	\{ \}

2. Funktion mit Fallunterscheidung

code:
1:	\begin{cases} & \\ & \end{cases}

26.01.2010, 20:56

gonnabphd

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*push* sieht's jemand?

26.01.2010, 22:57

system-agent

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RE: Diff'bare Funktion mit unstetigen partiellen Ableitungen

Zitat:

Original von gonnabphd
Dass die partiellen Ableitungen in 0 unstetig sind, ist klar:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x^2sin(1/|x|)}{x} = \pm 1 \end{eqnarray*}$

Was willst du damit ausdrücken?
Im übrigen stimmt das nicht einmal. Dieser Grenzwert existiert und ist genau Null.

Ich würde vorschlagen ersteinmal ordentlich die partiellen Ableitungen ausrechnen für $\begin{eqnarray*} (x,y)\neq(0,0) \end{eqnarray*}$ .
Dann kannst du zb. $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ betrachten und den Grenzwert für $\begin{eqnarray*} h\to0 \end{eqnarray*}$ einer der beiden partiellen Ableitungen.

Versuche $\begin{eqnarray*} J_f(0)=0 \end{eqnarray*}$ .

27.01.2010, 01:08

gonnabphd

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schönen dank!

Weiss wirklich nicht, was ich da gedacht hatte... unglücklich

Muss wohl immernoch verwirrt gewesen sein, weil die Funktion original so aussah:

$\begin{eqnarray*} f(x,y):= \begin{cases}(x^2+y^2)sin(x^2+y^2)^{-\frac{1}{2}} & x,y\neq 0 \\0 & x=y=0\end{cases} \end{eqnarray*}$

Und ich das als

$\begin{eqnarray*} f(x,y):= \begin{cases}\frac{(x^2+y^2)}{\sqrt{sin(x^2+y^2)}} & x,y\neq 0 \\0 & x=y=0\end{cases} \end{eqnarray*}$

interpretiert hatte. Jedenfalls ist nun alles klar. smile

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