Differenzierbarkeit auf R zeigen

26.01.2010, 11:39

PlanBrauchen

Differenzierbarkeit auf R zeigen

Hallo, ich mal wieder

nachdem das mit der Stetigkeit nun einigermaßen verdaut ist, gehts weiter mit Diff.barkeit.

Zum Einstieg haben wir mal folgende Fkt. bekommen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \cdot e^{sin(x)} \end{eqnarray*}$

Aufgabenstellung: Zeigen Sie, dass die Funktion in jedem Punkt x € R differenzierbar ist, berechnen sie die Ableitung.

Gut, erstmal die Ableitung, verwende da Produkt und Verquickung:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = [2x \cdot e^{sin(x)}] + [x^2 \cdot (exp(sin(x)) \cdot cos(x))] \end{eqnarray*}$

(hoffe die Ableitung ist zumindest mal richtig)

Jetzt weiß ich aber auch schon nicht weiter: Wir haben für die Differenzierbarkeit einfach nur aufgeschrieben, dass eine Fkt. dann in einem Punkt differenzierbar ist, falls der Grenzwert zum Differenzenquotienten, der Differentialquotient also, existiert.

Wie aber soll ich nun zeigen, dass diese Funktion auf ganz R bzw. in jedem Punkt x € R differenzierbar ist ?

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac {(x+h)^2 \cdot exp(sin(x+h)) - x^2 \cdot exp(sin(x))} {h} \end{eqnarray*}$

Ich kann ja schlecht für jeden einzelnen Punkt prüfen, ob der Grenzwert existiert...
Wäre echt super wenn mir jemand weiterhelfen kann...ich verstehts einfach nicht...

26.01.2010, 11:42

system-agent

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Was man bei den Ableitungsregeln gern überliest, das ist der nette Zusatz, bevor die Formel kommt.

Zum Beispiel bei der Produktregel.
Man hat zwei Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ die in einem gemeinsamen Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ihres gemeinsamen Definitionsbereiches differenzierbar sind.
Nun kommt die Aussage des Satzes:
Dann ist die Funktion $\begin{eqnarray*} (f\cdot g) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar und es gilt $\begin{eqnarray*} (f\cdot g)'(x_0)=f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0) \end{eqnarray*}$ .

Hast du es gemerkt?

Deine Ableitung ist OK.

26.01.2010, 12:01

PlanBrauchen

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Hmmm..also zumindest in unserem Skriptum/Buch ("Forster: Analysis I") ist das jetzt so nicht drin. Da stehen die Regeln bloß als Merksätze.

Stehe aber wohl noch immer auf dem Schlauch.
Oder heißt das, es genügt, dass ich die einfach nur die Existenz der Grenzwerte der "Einzelteile" zeige ?

Also z.b. für die Teilfunktion g(x)=x²

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac {(x+h)^2 - x^2} {h} = \lim_{h \to 0} \frac { x^2+2xh+h^2-x^2} {h}=2x \end{eqnarray*}$

26.01.2010, 12:21

Andi24

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Zitat:

Original von PlanBrauchen

Oder heißt das, es genügt, dass ich die einfach nur die Existenz der Grenzwerte der "Einzelteile" zeige ?

Also z.b. für die Teilfunktion g(x)=x²

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac {(x+h)^2 - x^2} {h} = \lim_{h \to 0} \frac { x^2+2xh+h^2-x^2} {h}=2x \end{eqnarray*}$

Hallo, ich klinke mich hier mal ein, hoffe dass das ok ist.

Du musst schauen, wie sich deine Gesamtfunktion zusammensetzt, sind die beteiligten Funktion auf R differenzierbar? Was muss dann für die Verknüpfung gelten?

Gruß

26.01.2010, 13:13

system-agent

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Zitat:

Original von PlanBrauchen
Hmmm..also zumindest in unserem Skriptum/Buch ("Forster: Analysis I") ist das jetzt so nicht drin. Da stehen die Regeln bloß als Merksätze.

Das ist nicht wahr.
Hier ein Zitat, §15, Satz 2:

Zitat:

Seien $\begin{eqnarray*} f,g: V\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x\in V \end{eqnarray*}$ differenzierbare Funktionen und $\begin{eqnarray*} \lambda \in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Dann sind auch die Funktionen $\begin{eqnarray*} f+g,\,\lambda f,\,fg: V\to\mathbb R \end{eqnarray*}$
in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ differenzierbar und es gelten die Rechenregeln:

und dann kommen die Regeln.

Der Satz sagt dir also nicht bloss eine Formel, sondern dass die Addition zweier dfb Funktionen wieder dfb ist, dass die Multiplikation einer dfb Funktion mit einer Konstanten wieder dfb ist und dass das Produkt zweier dfb Funktionen wieder dfb ist.

Entsprechendes findest du auch bei der Kettenregel.

Nun setze $\begin{eqnarray*} s(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} g(x)=e^x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h(x)=\sin(x) \end{eqnarray*}$ , jeweils auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert.
Sei $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ beliebig.
Nun nutze den Satz und die Kettenregel.

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