Konvergenz und Summe der Reihe

26.01.2010, 13:07	Bobobo	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz und Summe der Reihe hallo ich habe da mal eine kleine frage die mich hier echt in den wahnsinn treibt. bei der aufgabe an der ich gerade verzweifle geht es darum zu bestimmen ob die reihe konvergiert und man soll die summe der reihe bestimmen. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^\infty \frac{1}{i(i+1)}= \lim_{n \to \infty}\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i(i+1)}= \lim_{n \to \infty } \frac{n}{n+1} =1 \end{eqnarray}$ das ist die lösung die wir im tutorium bekommen haben, die ich allerdings nicht im geringsten nachvollziehen kann. eine große hilfe wäre es schon zu wissen woher das $\begin{eqnarray} \frac{n}{n+1} \end{eqnarray}$ stammt... ich bin über jeden denkanstoss dankbar. gruß
26.01.2010, 13:12	Kühlkiste	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz und Summe der Reihe Stichwort: Teleskopsumme Beachte: 1=(i+1)-i
26.01.2010, 13:19	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz und Summe der Reihe Um das ein bißchen zu ergänzen: es ist $\begin{eqnarray} \frac{1}{i \cdot (i+1)} = \frac 1 i - \frac{1}{i+1} \end{eqnarray}$ . Das führt auf die Teleskopeigenschaft der Summe.
26.01.2010, 13:40	Bobobo	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank erstmal... ich glaube das bringt mich erstmal weiter
26.01.2010, 14:00	Bobobo	Auf diesen Beitrag antworten »
so halb habe ich es schon verstanden glaube ich, eine frage habe ich allerdings noch. ich verstehe nicht wirklich warum ich als Lösung $\begin{eqnarray} 1- \frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ habe und nicht $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ . ich tippe darauf das ich mal irgendwas simples übersehe, aber es wäre trotzdem nett wenn mir noch mal jemand sagen könnte wieso das ganze hier $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n (\frac{1}{i} - \frac{1}{i+1}) \end{eqnarray}$ dem hier entspricht: $\begin{eqnarray} 1- \frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ .
26.01.2010, 14:03	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist eben das Thema "Teleskopsumme". Überlege dir, welche Summanden der Summe sich gegenseitig aufheben. Alternativ kannst du auch $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n (\frac{1}{i} - \frac{1}{i+1}) = 1- \frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ mit vollständiger Induktion zeigen.
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26.01.2010, 14:14	Bobobo	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank, jetzt hab ichs endlich!!!

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