Funktionentheorie - Laurentreihe !

26.01.2010, 14:03	constantin	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionentheorie - Laurentreihe ! Hallo, ich bräuchte mal eure Hilfe zu den zwei Aufgaben: "Bestimme den Hauptteil der Funktion f(z)=1/(1-e^z) und g(z)=cos(1/z²) an der isolierten Singularität 0" "Bestimme eine Laurentreihenentwicklung um 0 von f(z)=1/(z(z-1)(z-2)) in den drei Gebieten, die durch 0<\|z\|<1, 1<\|z\|<2 und 2<\|z\| gegeben sind." Leider kenn ich mich nicht aus damit (weil ich eigentlich physiker bin g, aber trotzdem den mathe-schein machen muss,....). Weiß jemand, wie man die Aufgaben löst? tausend dank [für Tipps, Lösungshinweise etc.] ! constantin.
26.01.2010, 14:53	Kühlkiste	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktionentheorie - Laurentreihe ! Auch für den ersten Aufgabenteil benötigst Du die jeweiligen Laurent-Reihen. Die kannst Du einmal mittels geom. Reihe und dann mittels bekannter Reihenentwicklungen angeben. Bei der zweiten Aufgabe sollte eine Partialbruchzerlegung weiterhelfen.
26.01.2010, 17:09	constantin	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Kühlkiste, danke schon mal für die Hinweise. Also, so ne Laurent-Reihe hat ja im Allgemeinen die Form $\begin{eqnarray} \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(x-x_0)^n \end{eqnarray}$ . Das $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ ist ja die Entwicklungsstelle, also gleich null ---> Das heisst, ich muss nur die Koeffizienten $\begin{eqnarray} c_n \end{eqnarray}$ bestimmen. Folgendes ist mir bekannt: Die geometrische Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty} a \cdot q^n=\frac{a}{1-q},\quad \text{falls }\|q\|<1 \end{eqnarray}$ und die Reihendarstellung des Cosinus: $\begin{eqnarray} \cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{eqnarray}$ Das heisst also, dass sich die beiden Funktionen im ersten Aufgabenteil, wie folgt darstellen lassen: $\begin{eqnarray} f(z)=\frac{1}{1-e^z}=\sum_{n=0}^{\infty}e^{z\cdot n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cos\left ( \frac{1}{z^2} \right )=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\left ( \frac{1}{z^2} \right )^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{eqnarray}$ Aber wenn ich nun 0 einsetze, dann wird unendlich mal der Wert 1 summiert und bei der zweiten würde ich durch null dividieren.... Also ist ja noch irgendwie der Wurm drin Ich bitte um Hilfe :-D Ciao, Constantin
26.01.2010, 20:28	Kühlkiste	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Partialbruchzerlegung des Cotangens: $\begin{eqnarray} \frac{z}{e^z-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n}{n!}z^n \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} B_n \end{eqnarray}$ die Bernoullischen Zahlen bezeichnet. 2. $\begin{eqnarray} \cos(z)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{z^{2n}}{(2n)!} \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} \cos(z^{-2})=\sum_{n=-\infty}^0\frac{(-1)^n}{\|2n\|!}z^{4n} \end{eqnarray}$

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