Orthonormalbasis aus 2 Vektoren ergänzen

26.01.2010, 14:08

YES

Orthonormalbasis aus 2 Vektoren ergänzen

Habe gesehen das es schon ähnliche Einträge hier gibt aber diese haben mir leider nicht weitergeholfen.

Ich habe 2 Vektoren gegeben: a = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und b = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Diese Vektoren sollen nun zu einer Orthonormalbasis ergänzt werden.
Zuerst habe ich a normiert also 1/wurzel 2 x a und wollte es nun mit der Gram-Schmidt Methode weiterrechnen. Allerdings verstehe ich nun nicht wie es weiter geht, nachdem ich beide in ein Orthonormalsystem verrechnet habe. Danke im Vorraus, YES

26.01.2010, 14:39

Mazze

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Das Gramschmidtverfahren geht durchaus. Ich würde aber einfach das lineare Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} \langle x,a\rangle = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \langle x,b\rangle = 0 \end{eqnarray*}$

lösen, und dann normieren. Was an Gram-Schmidt verstehst Du nicht?

26.01.2010, 14:47

YES

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Nachdem ich ein Orthonormalsystem gebildet habe, nach:
V = (b - (b * u) * u) / den Betrag von (b - (b * u) * u) ; wobei u der normierte a vektor ist.
Um nun aus den beiden Vektoren eine Orthonormalbasis zu ergänzen, muss ich doch das Kreuzprodukt von u x V druch dessen Betrag teilen oder?

26.01.2010, 14:56

Mazze

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Also so wie ich Gram-Schmidt kenne, braucht man zunächst irgendeine Basis. Dann macht man daraus eine ONB, sprich Du müsstest erst deine Vektoren zu einer Basis ergänzen, dann kannst Du Gram-Schmidt machen :

$\begin{eqnarray*} v_1 = \frac{w_1}{\left\|w_1\right\|} \end{eqnarray*}$ (Normalisieren des ersten Vektors w1)
$\begin{eqnarray*} v_2^\prime = w_2 - \langle w_2, v_1 \rangle \cdot v_1 \end{eqnarray*}$ (Orthogonalisieren des zweiten Vektors w2)
$\begin{eqnarray*} v_2 = \frac{v_2^\prime}{\left\|v_2^\prime\right\|} \end{eqnarray*}$ (Normalisieren des Vektors $\begin{eqnarray*} v_2^\prime \end{eqnarray*}$ )
$\begin{eqnarray*} v_3^\prime = w_3 - \langle w_3, v_1 \rangle \cdot v_1 - \langle w_3, v_2 \rangle \cdot v_2 \end{eqnarray*}$ (Orthogonalisieren des dritten Vektors w3)
$\begin{eqnarray*} v_3 = \frac{v_3^\prime}{\left\|v_3^\prime\right\|} \end{eqnarray*}$ (Normalisieren des Vektors $\begin{eqnarray*} v_3^\prime \end{eqnarray*}$ )

26.01.2010, 15:06

YES

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Das habe ich jetzt soweit verstanden, allerdings habe ich ja in meinem Beispiel nur 2 vektoren. Wäre ich dann nach deinem Schritt

Zitat:

$\begin{eqnarray*} v_2 = \frac{v_2^\prime}{\left\|v_2^\prime\right\|} \end{eqnarray*}$ (Normalisieren des Vektors $\begin{eqnarray*} v_2^\prime \end{eqnarray*}$ )

fertig? Oder was würde noch fehlen, damit die beiden Vektoren zur ONB ergänzt sind?

26.01.2010, 15:09

Mazze

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Den Teilsatz

Zitat:

Sprich Du müsstest erst deine Vektoren zu einer Basis ergänzen

hast Du wohl konsequent ignoriert.

26.01.2010, 15:16

YES

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Sorry, wie ergänzt man denn 2 Vektoren zu einer Basis? Oder meinst du die beiden Vektoren müssen linear unabhängig sein?

26.01.2010, 15:18

Mazze

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Du hast zwei Vektoren des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ . Damit Du eine Basis erhälst musst Du also einen weiteren Vektor finden, so das alle 3 Vektoren linear Unabhängig sind.

26.01.2010, 15:27

YES

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Ah ok also erst einen 3. linear unabhängigen Vektor finden und dann deinen Schritten folgen.
Nachdem ich dann meinen 3. Vektor orthogonalisert und normalisiert habe, ergobt sich aus ihm dann die ONB, hab ich das richtig verstanden?

26.01.2010, 15:48

Mazze

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Ja, ganz genau.

26.01.2010, 15:56

YES

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Alles klar, vielen Dank!

21.11.2013, 19:18

akamanston

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Zitat:

Original von Mazze
Ich würde aber einfach das lineare Gleichungssystem
$\begin{eqnarray*} \langle x,a\rangle = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \langle x,b\rangle = 0 \end{eqnarray*}$

hallo,
blöde frage, was ist denn das für eine schreibweise für ein LGS?

das was ich des sehe sieht eher so aus wie ein skalarprodukt, odernicht^^
was wird mit x gemeint? vektor x1 x2 x3?

22.11.2013, 10:30

Mazze

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Zitat:

das was ich des sehe sieht eher so aus wie ein skalarprodukt, odernicht^^ was wird mit x gemeint? vektor x1 x2 x3?

Es handelt sich um ein Skalaprodukt , richtig. Und wenn wir wissen aus welchem Vektorraum die Vektoren a und b kommen ist auch klar woher x kommt(normalerweise definiert man aber woher wleche Variable kommt Augenzwinkern

). Ansonsten ist natürlich

$\begin{eqnarray*} \langle x, a\rangle = x_1 + x_2 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle x, b\rangle = x_1 - x_2 + x_3 = 0 \end{eqnarray*}$

und das ist ein lineares Gleichungssystem (3 unbekannte, 2 Gleichungen)

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