Addition von 2 Gleichverteilungen

26.01.2010, 15:02

Dark_Ruler

Addition von 2 Gleichverteilungen

Hallo Leute!
Ich bereite mich gerade auf meine Wahrschenlichkeitsrechnungsprüfung nächste woche vor, aber komme nicht über das eigentlich (denk ich mir) einfache Beispiel 2er Gleichverteilungen (stetig). Mir is klar, dass da so ne Dreieckverteilung rauskommt, aber ich komme einfach nicht dahinter wie man das ganze Mathematisch löst. Es gibt dann ja eine Fallunterscheidung aber da komm ich nicht so wirklich dahinter. Und die Rechnung wie sie im Sheldon Ross steht ist für mich so leider nicht nachvollziehbar.

Naja zur Angabe: X, Y beide U[0;1] und unabhängig. Ges: Dichte von f(x+y)

d.h.
$\begin{eqnarray*} fx(x) = fy(y) = { 1 wenn 0<x,y<1 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} fx+y(a) = \int_0^1 \! fx(a-y)*fy(y) \, dy \end{eqnarray*}$

Wie lautet jetzt mein nächster Schritt? Ich weiß ich muss jetzt eine Fallunterscheidung machen ob a zwischen 0 und 1 oder zwischen 1 und 2 liegt und dann 2 versch. Integrale formulieren, aber wie? Ich kenne die Lösung (wenn a zw. 0 und 1: a; wenn a zw. 1 und 2: 2-a) sehe aber den Weg nicht. Danke falls sich jemand die Zeit nimmt mir zu helfen!

26.01.2010, 15:34

Lord Pünktchen

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Addition von 2 Gleichverteilungen
$\begin{eqnarray*} f_X(a-y) = 1 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} a-y \in [0,1] \end{eqnarray*}$ und 0 sonst

$\begin{eqnarray*} => f_X(a-y) = 1_{[0,1]}(a-y) = 1_{[a-1,a]}(y) \end{eqnarray*}$

Analog gilt $\begin{eqnarray*} f_Y(y) = 1_{[0,1]}(y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} => f_X(a-y)\cdot f_Y(y) = 1_{[0,1]\cap[a-1,a]}(y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} => \int f_X(a-y)\cdot f_Y(y) ~d\lambda(y) = \lambda([0,1]\cap[a-1,a]) \end{eqnarray*}$

26.01.2010, 21:43

Dark_Ruler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Addition von 2 Gleichverteilungen

Zitat:

Original von Lord Pünktchen
$\begin{eqnarray*} f_X(a-y) = 1 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} a-y \in [0,1] \end{eqnarray*}$ und 0 sonst

$\begin{eqnarray*} => f_X(a-y) = 1_{[0,1]}(a-y) = 1_{[a-1,a]}(y) \end{eqnarray*}$

Analog gilt $\begin{eqnarray*} f_Y(y) = 1_{[0,1]}(y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} => f_X(a-y)\cdot f_Y(y) = 1_{[0,1]\cap[a-1,a]}(y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} => \int f_X(a-y)\cdot f_Y(y) ~d\lambda(y) = \lambda([0,1]\cap[a-1,a]) \end{eqnarray*}$

Hi! Danke erstmal für deine Antwort, leider wurde ich da draus auch nicht schlauer geschockt

Die allererste Zeile ist noch klar für mich, das unterste könnte ich gar nicht verstehen (das ist doch das Lesbegue-Maß, oder?), das haben wir in der Vo leider nicht behandelt. (bin 1. Semester, Statistik)

Ich hab mir nochmal den Kopf zerbrochen:
Eigentlich müsste doch wenn man sich einfach mal das Produkt betrachtet:

$\begin{eqnarray*} fx+y(a) = \int_0^1 \! fx(a-y)*fy(y) \, dy \end{eqnarray*}$

fy(y) ergibt je nach Intervall entweder eine 1 oder 0. Man sieht sich jetzt aber ja nur die Fälle an wo bei fx+y(a) was gscheites rauskommt, also nur den Fall dass da ne 1 steht, was andersrum bedeutet ich kann fy(y) im Integral vollkomen ignorieren.

Und daraus folgt, dass für a-y, y immer zwischen 0 und 1 liegen muss, aber per definitionem nie größer als a selber werden kann. D.h. in meinen 2 Fällen kommt für das Integral IMMER eine 1 raus, sonst wäre ich außerhalb von fx+y. Richtig?

D.h. aber jetzt dass sich in den beiden Fällen nur die Integralsgrenzen unterscheiden. Und das versteh ich nicht, wie ich da jetzt auf die richtigen komme, falls das jetzt soweit gestimmt hat was ich geschrieben habe.

26.01.2010, 21:47

Dark_Ruler

Auf diesen Beitrag antworten »

Also meine ich schlussendlich:

$\begin{eqnarray*} \int_?^? \! 1 \, dy = y [? | ?] \end{eqnarray*}$

26.01.2010, 22:22

Royal Tomek

Auf diesen Beitrag antworten »

Sei $\begin{eqnarray*} Z=X+Y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X, Y \end{eqnarray*}$ jeweils stetig gleichverteilt auf [0, 1], dann ist $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ auf [0, 2] verteilt (allerdings natürlich nicht mehr gleichverteilt).

Was Faltung ist, weißt du ja. Unterscheide einfach $\begin{eqnarray*} z\in[0,1] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z\in[1, 2] \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt für $\begin{eqnarray*} z\in[0,1] \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} f_z(z)=\int_0^2~f_x(z-y)f_y(y)~dy=\int_0^2~\mathbb{I}_{\{z-y>0\}}\mathbb{I}_{\{1>y>0\}}~dy=\int_0^z~dy=z \end{eqnarray*}$

Jetzt versuch die gleichen Schritte für $\begin{eqnarray*} z\in[1, 2] \end{eqnarray*}$ . Es sollte dann $\begin{eqnarray*} 2-z \end{eqnarray*}$ rauskommen.

Neue Frage »

Antworten »

Addition von 2 Gleichverteilungen

Verwandte Themen