Extremwertaufgabe

Neue Frage »

26.01.2010, 15:29	YellowYellow	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe Hallo Leute, hab ein riesen Problem mit dieser Aufgabe hier: "Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = (x+1)*e^-x, x e IR. Die Graphen von f und f' sind in der Abbildung dargestellt. Es gilt: g(x) = f'(x) Die Parallele zur y-Achse mit x=u, u>0, schneidet den Graphen von f im Punkt Pu (u/f(u)) un den Graphen von f' im Punkt Qu(u/f'(u)). Bestimmen Sie u so, dass die Länge d(u) der Strecke PuQu maximal wird, und geben Sie diese maximale Länge an. Es handelt sich ja hierbei um eine Extremwertaufgabe, also würde ich zuerst eine Hauptbedingung, danach eine Nebenbedingung aufstellen und diese in die erste einsetzen. Danach braucht man doch nur noch ableiten und das Maximum zu berechnen, oder ? Ich komm einfach nicht auf die Hauptbedingung bzw. auf die gesamte Zielfunktion. Über Vorschläge, Ansätze oder jegliche Hilfe würde ich mich freuen, danke.
26.01.2010, 16:02	YellowYellow	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe So, hab mich jetzt nochmal angemeldet. Hier sind die Grpahen im KS: [attach]13165[/attach]
27.01.2010, 00:02	SteMa	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe Zunächst machst du dir klar: f(x)>0 für alle x>0 und g(x)<0 für alle x>0 Markiere eine Stelle u, u>0, zeichne durch diese Stelle eine Parallele zur y-Achse und markiere die Punkte P und Q. Die Strecke PQ setzt sich nun zusammen aus den Stücken f(u) und "g(u)", da aber g(u)<0 gilt: PQ = f(u) - g(u) = .... Damit hast du einen Ausdruck(Funktion) für die Streckenlänge, die du dann wie üblich auf ein Maximum untersuchen musst. Gruß SteMa
27.01.2010, 14:14	YellowYellow	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo SteMa, erstmal vielen Dank für deine Hilfe. Damit ich das jetzt richtig verstehe, weil die Ableitungsfunktion g(u) unterhalb der x-Achse liegt, somit also nur negative Werte für x>0 annimmt, muss diese von der normalen Funtion f(u) subtrahiert werden ? Warum ist das so ? Handelt es sich dann um die Zielfunktion, oder benutzt man die Begriffe Haupt - und Nebenbedingung, sowie Zielfunktion garnicht in diesem Zusammenhang ? Nun zu meiner Rechnung nach deinem Hilfsansatz: f'(u) =g(u) f'(u) = (x+1)(-e^-x)+1e^-x (nach Ketten- und Produktregel) f'(u) = e^-x(-x-1+1) f'(u) = e^-x (-x) PQ = f(u) - g(u) PQ = (x+1)e^-x - (e^-x (-x)) PQ = e^-x(x+1-(-x)) PQ = e^-x*(2x+1) Die Funktion sieht dann ein wenig komisch aus. Wenn ich nämlich nun das Maximum bestimmen will, komm folgendes raus: e^-x(2x+1) = 0 2x+1 = 0/ -1/:2 x = -1/2 und das kann ja nicht stimmen...verdammt, wo liegt mein Fehler ?
27.01.2010, 18:41	SteMa	Auf diesen Beitrag antworten »
leider entdecke ich deine Frage erst jetzt. Zu deiner Frage: d(u) = f(u) + betrag(g(u)) = f(u) + (-g(u)) = f(u) - g(u) die Abstandsfunktion ist richtig (ich benutze x als Variable): d(x) = (2x + 1)e^(-x) die untersuchst du auf die Existenz des Maximums, du suchst also lokale Maxima und vergleichst diese mit den Randwerten. lokale Extremwerte: notwendige Bedingung: d´(x) = 0 deine Ableitung ist falsch! -Produktregel! zur Kontrolle: d´(x) = (-2x + 1)e^(-x) = -2(x - 0,5)e^(-x) und du siehst jetzt sofort die Nullstelle von d´ hinreichende Bedingung: z.B. Vorzeichenwechsel von d´an dieser Stelle lokales Max: 1,21 ; Maxstelle: 0,5 Vergleich mit Randwerten: lim d(x) bei x gegen 0+ ist Null, Lim d(x) bei x gegen Unendl ist ebenso Null Also ist 0,5 die Maximumstelle, das Maximum, d.h. die längste Strecke ist dann 1,21 [L.E.] Gruß SteMa
27.01.2010, 19:17	YellowYellow	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow, danke, danke, danke Hab meinen Fehler kurz vor deiner Antwort auch endlich mal gefunden. Die Abstandfunktion d(u) hab ich nicht abgeleitet und somit konnte ja nichts richtiges rauskommen Somit komme ich nun nach Korrektur auf dieselben Ergebnisse, nur stellt sich mir die Frage, warum die 2te Ableitung die Länge angibt ? Eigentlich kategorisiert diese doch nur den Extremwert in Maximum oder Minimum, oder nicht ? Und warum müssen die Randwerte mit einbezogen werden ? Nichtsdestotrotz schonmal vielen Dank für die Hilfe war echt am verzweifeln!
Anzeige

27.01.2010, 21:13	SteMa	Auf diesen Beitrag antworten »
aber,aber, die 2. Ableitung gibt nicht die Länge der Strecke an, dies macht die "Längenfunktion" d = d(x). Die 2. Ableitung kannst Du als hinreichendes Kriterium für das Vorhandensein eines lokalen Extremums heranziehen. Die (absoluten) Extrema findest du so: du vergleichst die lokalen Extrema mit den Funktionswerten an den Rändern des Definitionsbereichs - eine Skizze verdeutlicht dir dieses Vorgehen sofort. Gruß SteMa
27.01.2010, 21:36	YellowYellow	Auf diesen Beitrag antworten »
achsoooo, einfach den u-wert in d(u) einsetzen, oder ? d(0,5)= e^-0,5(20,5+1) = 1,213 LE und mit dem Limes beweist man, dass es kein weiteres Extrema gibt ?
27.01.2010, 21:44	SteMa	Auf diesen Beitrag antworten »
klar, du musst u=0,5 in d(u) einsetzen. Der linke Rand des Def.bereiches für u ist ja 0 und wegen u>0 ist das Intervall dort offen. Lim für u gegen 0+ stellt also den Funktionswert am linken Rand dar. Das Intervall ist nach rechts offen, kurz D = ]0;oo[ - Lim für u gegen unendl. steht also stellvertretend für den Funktionswert am rechten Rand. denk dran: Übung macht den Meister Gruß SteMa
27.01.2010, 21:52	YellowYellow	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt wird alles klarer Vielen Dank. Haben leider die Extremwertaufgaben vor mehr als einem Jahr im Unterricht durchgenommen, aber davon ist anscheinend nicht mehr so viel Wissen vorhanden...zudem seh ich so einen Aufgabentypen zum ersten Mal ^^ d.h. dann Wohl oder Übel: üben, üben, üben eigentlich ist das doch meist dasselbe Prinzip. Kenne nur Aufgaben mit Flächenberechnung oder ähnlichem. Grüße

Neue Frage »

Antworten »

Extremwertaufgabe

Verwandte Themen