Ableitung Beweis

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26.01.2010, 16:01	Hotte86	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung Beweis Hallo Leutz, hab folgende Aufgabe bei der ich ein Problem hab: $\begin{eqnarray} \left(\frac{f(x)}{x^{n} } \right)' = \frac{f'(x)}{nx^{n-1} } <br /> \end{eqnarray}$ Für welche Funktionen $\begin{eqnarray} f : \mathbb R \subseteq \mathbb D \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ stimmt diese Gleichung? An sich eine schöne Aufgabe und ich weiß auch worauf sie hinaus wollen, aber brauche bissel Hilfe! Mfg Hotte
26.01.2010, 16:15	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \left(\frac{f(x)}{x^{n} } \right)' = \left(f(x)x^{-n}\right)' = \frac{f'(x)}{x^n} - \frac{nf(x)}{x^{n+1}} \end{eqnarray}$ Naja, und jetzt soll gelten : $\begin{eqnarray} \frac{f'(x)}{x^n} - \frac{nf(x)}{x^{n+1}} = \frac{f'(x)}{nx^{n-1}} \end{eqnarray}$ Da müsste sich doch was machen lassen. edit : Daraus lässt sich auch was machen. Sortiere mal die Gleichung so, dass auf einer Seite alle f(x),f'(x) Terme stehen, und auf der anderen Seite die übrigen.
26.01.2010, 17:26	Pilsner	Auf diesen Beitrag antworten »
(hab mich jetzt angemeldet, bin hotte fg ) also ich hab jetzt alles umgeformt: $\begin{eqnarray} \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{n^2}{(xn-x^2)} \end{eqnarray}$ anschießend hab ich Trennung der Variablen durchgeführt und hab folgendes Ergebnis: $\begin{eqnarray} y = \frac{x^{n}}{(x-n)^n} \end{eqnarray}$ kommt das an das Ergebnis ran? Vielen Dank
26.01.2010, 17:32	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst Dein Ergebnis selbst überprüfen in dem Du einfach mal in die Ausgangsgleichung einsetzt und schaust ob das richtige heraus kommt. Ich würde aber bei $\begin{eqnarray} \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{n^2}{(xn-x^2)} \end{eqnarray}$ auf beiden Seiten integrieren. Schliesslich ist $\begin{eqnarray} \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx \end{eqnarray}$ ein Grundintegral.
26.01.2010, 18:20	Pilsner	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab Probleme bei der rechten Seite beim integrieren. hab folgendes Integral herausbekommen: $\begin{eqnarray} \int_.^. \! \frac{n^2}{xn - x^2} \, dx = n (ln x - ln (x-n)) \end{eqnarray}$ Weiter heißt es dann bei mir: $\begin{eqnarray} y = e^{nln x}e^{-nln (x-n)} \Rightarrow y = \frac{x^n}{(x-n)^n} \end{eqnarray}$ wo is mein fehler?! Wenn ich das in die Ausgangsgleichung einsetze komm ich grad nich weiter, bei der Umformung! Gruß
26.01.2010, 18:54	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiss auch nicht wirklich was Du da machst : $\begin{eqnarray} \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{n^2}{(xn-x^2)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \int \frac{n^2}{(xn-x^2)} dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \log(f(x)) = n(log(x) - log(x - n)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \log(f(x)) = log\left(\frac{x^n}{(x - n)^n}\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow f(x) = \frac{x^n}{(x - n)^n} \end{eqnarray}$ Ich komme aufs gleiche. edit : Ich hab jetzt mal die Probe gemacht und es passt alles.
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26.01.2010, 22:38	Pilsner	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön, habs jetzt. Hab die rechte Seite nur gekürzt und nicht zusätzlich noch abgeleitet... Danke
27.01.2010, 07:10	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, mindestens eine Funktion fehlt aber noch, eine sehr einfache Funktion.
27.01.2010, 08:52	Pilsner	Auf diesen Beitrag antworten »
meinst du etwa $\begin{eqnarray} f(x) = x^{n} \end{eqnarray}$ ??? Gruß
27.01.2010, 09:30	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, zum ersten erfüllt diese Funktion die Gleichung nicht, zum anderen ist die Funktion die ich meine noch viel einfacher.
27.01.2010, 09:37	Pilsner	Auf diesen Beitrag antworten »
f(x) = n ?
27.01.2010, 09:43	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei deinen Umformungen hast du einmal durch $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ dividiert. Was musstest du für diese Division ausschliessen, damit sie OK ist?
27.01.2010, 09:57	Pilsner	Auf diesen Beitrag antworten »
f(x) darf nicht null sein oder? also $\begin{eqnarray} x \neq n \end{eqnarray}$ !?
27.01.2010, 10:01	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Bedingung kennst du erst in deiner Lösung. Welche konstante Funktion würde denn bei jedem $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ Probleme bei der Division machen?
27.01.2010, 10:08	Pilsner	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, die böse Konstante Null oder nicht ?! oder stehe ich gerade auf m schlauch !?
27.01.2010, 10:36	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Erfüllt die Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = 0 \end{eqnarray}$ die gegebene Gleichung?
27.01.2010, 12:36	Pilsner	Auf diesen Beitrag antworten »
ja tut sie ist also diese "einfache" gleichung die weite mögliche funktion ?! danke für alles
27.01.2010, 12:51	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Da diese Funktion die Gleichung erfüllt, gehört sie natürlich mit zur Lösungsmenge.
27.01.2010, 16:12	Pilsner	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Mühe !!!

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