Herleitung von l'Hospital

26.01.2010, 19:41

Sophie808080

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Herleitung von l'Hospital

Ich muss ein Referat über L'Hospital halten und muss auch seine Regel herleiten. Dabei bin ich auf folgende Herleitung gestoßen und wollte wissen, ob diese ausreichend und richtig ist:

[latex]\lim_{x \to x0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to x0}\frac{f(x)-0}{g(x)-0}=\lim_{x \to x0}\frac{f(x)-f(x0)}{g(x)-g(x0)}=\lim_{x \to x0}\frac{\frac{f(x)-f(x0)}{x-x0} }{\frac{g(x)-g(x0)}{x-x0} }=\frac{f'(x0)}{g'(x0)}[\latex]

Vielen Dank!

26.01.2010, 20:37

Cel

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RE: Herleitung von l'Hospital

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to x0}\frac{f(x)-0}{g(x)-0}=\lim_{x \to x0}\frac{f(x)-f(x0)}{g(x)-g(x0)}=\lim_{x \to x0}\frac{\frac{f(x)-f(x0)}{x-x0} }{\frac{g(x)-g(x0)}{x-x0} }=\frac{f'(x0)}{g'(x0)} \end{eqnarray*}$

Für den Fall, dass im Zähler und Nenner jeweils Null im Grenzwert steht und du weisst, dass ein Grezwert eines Bruches gegen den Quotienten des Grenzwertes des Zählers und Nenners geht, schon. Aber was machst du, wenn beides gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ geht?

26.01.2010, 23:42

system-agent

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Vorallem gilt das nur, falls $\begin{eqnarray*} f(x_0)=g(x_0)=0 \end{eqnarray*}$ . MMn taugt das nicht.

27.01.2010, 18:30

Sophie808080

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Du meinst, es ist in Ordnung, wenn ich weiß, dass ich die Grenzwerte einzeln berechnen muss, also Grenzwert des Zählers und Grenzwert des Nenners ergeben den gemeinsamen Nenner?
Und wenn diese Herleitung nicht allgemein gilt, also nur wenn beides gegen 0 geht, welche Herleitung ist dann besser und gleichzeitig noch verständlich?
Vielen Dank für die Mühe!

27.01.2010, 18:35

Airblader

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Nicht alles lässt sich korrekt und für Schüler einfach erklären.
Mal als Hinweis:

Wir haben heute eine ganze Vorlesung (1.5 Stunden!) nur über die Regel von l'Hospital gehabt. Schrittweise haben wir immer allgemeinere Fälle angeschaut und bewiesen.
Und wir reden hier vom Hochschulniveau. Das heißt, dass das Tempo wesentlich schneller ist als in der Schule - das Verständnis bleibt über diese Zeit und in diesem Tempo bei den meisten Leuten außen vor und kommt erst beim Nacharbeiten.

Dabei haben wir Dinge gebraucht, die einfach weit über das Schulverständnis hinausgehen. Neben trickreicher Algebra kamen dort auch die Sätze von LaGrange oder die Taylor-Entwicklung dran, Landau-Symbole und allergleichen.

Sicher gibt es auch andere Methoden und auf das ein oder andere kann man verzichten.
Aber als Hinweis: Ich habe damals in der Schule ein Referat über dieses Thema gehalten. Für zumindest einen Teil der Fälle habe ich einen Beweis geführt, musste dafür den Mittelwertssatz und den Satz v. Rolle verwenden. Ich habe diese erklärt (sie sind ja sehr anschaulich), aber nicht bewiesen. Mittels dieser habe ich dann die Regel von l'Hospital bewiesen.
Der Beweis war aber sicher nicht einfach und ist nur für gute Schüler wirklich nachvollziehbar. Ich hatte zwei Schulstunden, mitsamt Übungsbeispielen und dergleichen.

Wenn du magst, schaue ich kurz, ob ich dieses Referat noch habe und lasse es dir ggf. zukommen.

air

27.01.2010, 18:42

Airblader

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Hi,
- ich nochmal! Aufgrund der Länge wirds ein Doppelpost.

Ich habe eben geguckt und habe es wirklich noch. Da dir der Rest der Präsentation nicht viel mehr bringt, sondern nur nötige Arbeit abnehmen würde, poste ich zumindest den von mir damals verwendeten Beweis.

Dieser gilt nur(!) für den Fall "Null durch Null". Vielleicht reicht es deinem Lehrer ja schon - es ist wirklich anspruchsvoll genug für einen Schüler und erfordert einiges Nachdenken.
Zum Fall "oo / oo" kann man theoretisch durch eine Variablentransformation gelangen etc. - aber das lasse ich nun mal weg.

Hier der damalige Beweis. Bedenke: Es ist ein vollständiger Beweis für diesen Fall, aber verstehen musst du ihn, um ihn erklären zu können. Ansonsten bist du aufgeschmissen - und wie gesagt, das erfordert einiges Nachdenken deinerseits!

Zitat:

Beweis der Regel von l'Hospital (Fall "0/0")

Seien $\begin{eqnarray*} a < b \end{eqnarray*}$ zwei reelle Zahlen.

Teil I:
Seien zwei stetige Funktionen $\begin{eqnarray*} f,g : [a,b] \mapsto \mathbb R \end{eqnarray*}$ , die in $\begin{eqnarray*} ]a,b[ \end{eqnarray*}$ differenzierbar sind. Dann existiert ein $\begin{eqnarray*} z \in ]a,b[ \end{eqnarray*}$ mit:
$\begin{eqnarray*} (f(b) - f(a))g'(z) = (g(b) - g(a))f'(z) \end{eqnarray*}$ .

Beweis:
Sei $\begin{eqnarray*} h(x) := (f(b) - f(a))g(x) - (g(b) - g(a))f(x) \end{eqnarray*}$ .

Hier ist $\begin{eqnarray*} h(a) = h(b) = 0 \end{eqnarray*}$ , so dass nach dem Satz von Rolle ein $\begin{eqnarray*} z \in ]a,b[ \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} h'(z) = 0 \end{eqnarray*}$ existiert.

Dies ist genau die Behauptung von Teil I.

Teil II:
Es seien $\begin{eqnarray*} f,g : ]a,b[ \mapsto \mathbb R \end{eqnarray*}$ zwei differenzierbare Funktionen mit folgenden Eigenschaften:

a) $\begin{eqnarray*} g'(x) \neq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in ]a,b[ \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0 \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = c \end{eqnarray*}$

Beweis:

Man setzt f und g stetig fort durch $\begin{eqnarray*} f(a) := g(a) := 0 \end{eqnarray*}$ .
Aus Teil I folgt nun, dass für jedes $\begin{eqnarray*} x \in ]a,b[ \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} z \in ]a,x[ \end{eqnarray*}$ existiert mit
$\begin{eqnarray*} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(z)}{g'(z)} \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} g(x) \neq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in ]a,b[ \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} g'(x) \neq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in ]a,b[ \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt wurde.

Betrachtet man nun den Grenzübergang $\begin{eqnarray*} x \to a \end{eqnarray*}$ , so muss wegen $\begin{eqnarray*} a < z < x \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} z \to x \end{eqnarray*}$ sein und es folgt die Behauptung.

q.e.d.

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27.01.2010, 18:46

Sophie808080

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Ich finde es wirklich sehr nett, dass sich jeder hier meinen Problem annimmt. Vielen Dank!
Also ich muss auch ein Referat darüber halten und ich habe Mahte LK. Meine Lehrerin wünscht eine Herleitung. Wie sie sich das genau vorstellt, weiß ich leider nicht.
Ich habe schon in diversen Büchern und im Internet geschaut aber leider habe ich die Herleitung mithilfe von Rolle und dem Mittelwertsatz nicht ganz verstanden.
Aber es wäre super, wenn du dein Referat noch hättest. Dann könnte ich es durchgehen und eventuell Fragen stellen smile

smile

??
Nochmals Danke.

27.01.2010, 18:52

Airblader

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Hi,

im Referat findest du nicht mehr. Da sind lediglich Problemstellung, ein paar biografische Dinge, dann der Beweis und dann Übungsbeispiele.

Viel einfacher als so wirst du den Satz nicht beweisen können und auch hier ist es ja nur ein Fall. Frag' doch einfach mal deine Lehrerin, wie genau sie es sich wünscht und ob ein Beweis für diesen Fall ausreichen wäre.

Kennst du denn den Satz von Rolle und Mittelwertssatz? Also hast du diese beiden verstanden?
Dann grübel doch mal über Teil I des obigen Beweises nach. Erstmal beweist man dort etwas, ohne genau zu wissen, warum - das ist zwar etwas doof, muss man aber erstmal hinnehmen; es zu motivieren dürfte schwer und umständlich werden.

Wenn du Teil I verstanden hast, mache dich an Teil II. Wie gesagt - da musst du eben nachdenken und ggf. etwas nachsuchen. Wenn du eine konkrete Frage hast, was du nicht verstehst, frage ruhig.

air

27.01.2010, 19:10

Sophie808080

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Ich hatte meine Nachricht schon abgeschickt, bevor ich deine überhaupt gelesen hatte.
Ich gehe es gerade durch. Mittelwertsatz habe ich schon nachgeschaut und verstanden. Aber eine Frage tut sich mir auf: Teil I, Beweis , h(x)=... Warum heißt es in der Funktion h(x)= (f(b)-f(a))g(x)-(g(b)-g(a))f(x) "minus" und nicht" geteilt" und warum ist jetzt der zweite Faktor der beiden Produkte nicht mehr abeleitet.
sophie

27.01.2010, 19:14

Airblader

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Wieso sollte es "geteilt" lauten?
Nur mit dem Minus erhält man die Bedingung h(a)=h(b)=0, die wichtig ist, um den Satz v. Rolle anwenden zu dürfen.

Dass keine Ableitung dortsteht erklärt sich ebenfalls mit dem S.v.R.:
Ich habe eine Funktion mit o.g. Bedingung und folgere nun mit dem Satz von Rolle die Existenz eines z, wo die Ableitung Null wird. Die Ableitung "entsteht" also bei der Anwendung, ergo darf sie vorher auch nicht dortstehen.

Bedenke beim Ableiten von h(x), dass (f(b)-f(a)) und (g(b)-g(a)) Konstanten sind, da sie ja nicht von x abhängen.

Der "Witz" an dieser Funktion h(x) ist gerade, dass wenn h'(z)=0 ist, man wieder einen Summanden von h' rüberschreiben kann und damit genau die Behauptung dortstehen hat.

air

27.01.2010, 19:49

Sophie808080

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Also ist die Teil I, Beweis h(x)-Gleichung willkürlich aufgestellt?Ich dachte nämlich, diese wäre aus dem Satz von Rolle geschlussfolgert.
Jedoch verstehe ich nicht, warum h(a) bzw. h(b)=0. Für mich ist nämlich nicht ersichtlich, dass (f(b)-f(a))g(a)=(g(b)-g(a))f(a) ----(für x=a) ist.
Denn Rest von Teil I verstehe ich.

27.01.2010, 20:13

Airblader

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Nun, "willkürlich" ist es nicht. Man weiß eben, dass man diese Aussage später brauchen wird, also beweist man es vorweg.
Wenn wir schon drüber reden, benennen wir das Teil eben. Auf wikipedia findest du diese Aussage unter "Erweiterter Mittelwertsatz der Differentialrechnung", bei uns heißt er anders, ist ja aber auch egal.

Allerdings sehe ich gerade, dass da wohl tatsächlich was falsch ist. Mhm. Seltsam. Ich war der Meinung, das war richtig - würde es momentan aber auch falsch nennen.
Tatsächlich benötigen wir nicht h(a)=h(b)=0, sondern nur h(a)=h(b) ... das ist schonmal eine Sache. Allerdings wirds dadurch nur bedingt besser.

Sollte vielmehr so lauten:

$\begin{eqnarray*} h(x) = f(x) - \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} g(x) \end{eqnarray*}$

Sorry - keine Ahnung, woher das herkommt. Damit sollte h(a)=h(b) nun aber klar sein, dann S.v. Rolle und dann folgt der Rest sehr schnell. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Anmerkung: Du musst noch g'(x) ungleich Null für x € ]a,b[ voraussetzen.

Edit:
Oh man, ich dreh grad durch. War mein Beweis in der GFS damals etwa falsch und warum schien damals alles richtig zu sein? Und wo ist mein Thread im matheboard dazu von damals verschwunden? Irgendwas stimmt hier grad nicht verwirrt

verwirrt

air

27.01.2010, 21:22

Sophie808080

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Könnte man h(a)=h(b)=0 dementsprechend als Sonderfall bezeichnen?
Also jetzt nochmal zurm Mittelwertsatz der Differentialrechnung. Ich kann aus dem "neuen" h(x) nicht herauslesen, dass h(a)=h(b) ist. Und wenn ich das "neue" h(x) ableite, erhalte ich nicht die Behauptung!
Sorry, dass ich des einfach nicht checke :P

27.01.2010, 21:25

Sophie808080

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Und eine ganz andere Frage habe ich noch: Wie finde ich heraus, dass der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$ existiert?

27.01.2010, 21:48

Airblader

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Zitat:

Original von Sophie808080
Ich kann aus dem "neuen" h(x) nicht herauslesen, dass h(a)=h(b) ist.

Naja, man sieht halt nicht alles sofort. Wie wärs mit Nachrechnen?

Zitat:

Und wenn ich das "neue" h(x) ableite, erhalte ich nicht die Behauptung!

Allein durchs Ableiten erhälst du es auch nicht.
Du weißt, dass h'(z) = 0 ist. Leite also h ab, setze dieses nun nachweislich existierende z ein und dann kannst du das zu der zu beweisenden Gleichung umformen.

Zur letzten Frage:
Rechne ihn doch einfach aus. Wenn er existiert, dann ist er laut dem Satz von l'Hospital gleich dem gesuchten Grenzwert. Wenn er nicht existiert liefert der Satz keine Aussage.
Es ist also viel eher denkbar, dass dein ursprünglicher Grenzwert nicht konvergiert. In bestimmten Situationen könnte man folgern, dass es ihn geben muss, aber das wäre hier nun zu viel ..

air

27.01.2010, 22:11

Sophie808080

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Ja, ich habe das neue h(x) schon abgeleitet und h'(z)=0 eingesetzt. Jedoch kommt dann das Problem auf, dass es einen Vorzeichenfehler gibt, da ich ja das f'(x) mit einem "-" auf die andere Seite ziehen muss.
Danke, jetzt verstehe ich, wie drauf komme. Ich setze beides gleich und erhalte dann zum Schluss 1=1.
Du meintest, der Satz würde dann keine Aussage liefern. Aber wie kann ich es mir vorstellen, dass der Satz keine Aussage liefert. Ich meine, was für ein Ergebnis erhalte ich dann bzw. was passiert dann?
Ich bin heute dem Ganzen schon viel näher gekommen, sehr hilfreich smile

smile

27.01.2010, 22:13

Airblader

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Hi,

ich bemerke gerade, dass mein Prof tatsächlich einen Fehler gemacht hat.
Warte bitte eben, ich muss es mir selber kurz angucken.

Edit: Okay, alles im grünen Bereich. Mit dem veränderten Vorzeichen stimmt alles. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Sorry für die Verwirrung.

Vermutlich muss vor dem Bruch in h(x) kein "+" sondern ein "-" stehen, dann passiert der Vorzeichenfehler auch nicht. Ich muss aber gucken, ob h(a)=h(b) dann noch stimmt!

Keine Aussage heißt keine Aussage. Es wäre also möglich, dass dennoch ein Grenzwert existiert, aber man eben die Regel nicht anwenden kann. Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

27.01.2010, 22:35

sophie808080

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Ok gut. Das uralte h(x) kann ich also streichen. Und das neue h(x) prüfst du gerade noch?

27.01.2010, 22:43

Airblader

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Hi,

nein, das neue h(x) ist definitiv in Ordnung, habs oben editiert. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nur zur Klarstellung hier das richtige h(x) - beachte das Vorzeichen:

$\begin{eqnarray*} h(x) = f(x) - \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g(x) \end{eqnarray*}$

air

01.11.2015, 14:49

cadbury123

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Wie hast du es denn jetzt im Endeffekt gelöst? Ich stehe nämlich vor demselben Problem.... unglücklich

unglücklich

01.11.2015, 15:15

cadbury123

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Und warum existiert zu jedem x ein z? (Teil 2) Also wie erschließt sich das durch 1?

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