Wahrscheinlichkeit Additionssatz

26.01.2010, 20:19

cl10gs

Wahrscheinlichkeit Additionssatz

Hallo
bin grad an einer Aufgabe dran, aber hab ein wenig Verständnissprobleme.
Aufgabenstellung:
Seien A und B Teilmengen einer endlichen Menge $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ . Für die Wahrscheinligkeitsverteilung P auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ gelte: $\begin{eqnarray*} P(A)=1/2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(B)=1/4 \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass $\begin{eqnarray*} P(AuB) \in [1/2,3/4] \end{eqnarray*}$ .
Ich verstehe jetzt nicht was ( $\begin{eqnarray*} P(AuB) \in [1/2,3/4] \end{eqnarray*}$ ) heißen soll. Wie kann man das in Wörtern ausdrücken?

26.01.2010, 20:23

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RE: Wahrscheinlichkeit Additionssatz
Das ist eine ganz normale Intervallangabe. Als Ungleichung geschrieben heißt das, dass du

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \leq P(A\cup B) \leq \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

nachzuweisen hast.

26.01.2010, 20:45

cl10gs

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RE: Wahrscheinlichkeit Additionssatz
reicht es, wenn ich das so zeige:
$\begin{eqnarray*} P(A)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(B)=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(A\cap B) =P(A)*P(B) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}*\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{8} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(A\cup B)=P(A)+P(B)- P(A\cap B) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}+ \frac{1}{4} - \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{5}{8} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \leq \frac{5}{8} \leq \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

26.01.2010, 21:13

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Zitat:

Original von cl10gs
$\begin{eqnarray*} P(A\cap B) =P(A)*P(B) \end{eqnarray*}$

Das gilt nur, wenn $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ unabhängig sind. Davon ist in den Voraussetzungen keine Rede, also kannst du es auch nicht benutzen. unglücklich

Die Grenzen 1/2 und 3/4 sind übrigens scharf. D.h., sowohl für 1/2 als auch für 3/4 lassen sich jeweils Ereignispaare A,B angeben, die die Voraussetzungen erfüllen und für die $\begin{eqnarray*} P(A\cup B) \end{eqnarray*}$ diesen Wert annimmt.

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