Die iterierten Kommutatorgruppen

26.01.2010, 20:46

schmouk

Die iterierten Kommutatorgruppen

Hallo,

folgende Aufgabenstellung:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine Gruppe und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ eine normale Untergruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ . Dann sind auch die iterierten Kommutatorgruppen $\begin{eqnarray*} N^{n} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} N (n\in N) \end{eqnarray*}$ normal in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ .

Beweis: Sei $\begin{eqnarray*} \forall g\in G \quad int_g: G\rightarrow G;\,\, x\mapsto int_g(x)=gxg^{-1}\quad (x\in G) \end{eqnarray*}$ ein innerer Automorphismus von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ .

Da nach Definition von Normalteiler für $\begin{eqnarray*} N\trianglelefteq G \end{eqnarray*}$ gilt: für alle $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} x\in N \end{eqnarray*}$ liegt das Produkt $\begin{eqnarray*} gxg^{-1} \end{eqnarray*}$ wieder in $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ , ist $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ invariant unter Konjugation.

D.h. $\begin{eqnarray*} int_g(N)=gNg^{-1}=Ngg^{-1}=N=N^{(0)} \end{eqnarray*}$
(Denn es ist: $\begin{eqnarray*} \forall g\in G\,:\, gN=Ng \end{eqnarray*}$ )\

Sei $\begin{eqnarray*} k\in N \end{eqnarray*}$ ein beliebiger Kommutator. Dann ist wegen $\begin{eqnarray*} int_g \end{eqnarray*}$ Gruppenhomomorphismus $\begin{eqnarray*} int_g(k)=int_g(a^{-1}b^{-1}ab)=int_g(a)^{-1}int_g(b)^{-1}int_g(a)int_g(b)\quad\in N\qquad (a,b\in N) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} int_g \end{eqnarray*}$ bildet also einen Kommutator aus $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ auf einen Kommutator aus $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ab.

Für die von der Menge der Kommutatoren erzeugte Kommutatorgruppe $\begin{eqnarray*} (N^{0})'=N^{(1)} \end{eqnarray*}$ folgt daher $\begin{eqnarray*} int_g(N^{(1)})\subset N^{(1)} \end{eqnarray*}$ . Wegen dem existierenden Umkehrautomorphismus $\begin{eqnarray*} int_g^{-1} \end{eqnarray*}$ ist schon $\begin{eqnarray*} int_g(N^{(1)})= N^{(1)} \end{eqnarray*}$ .

Mit Induktion über $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} int_g(N^{(n)})=N^{(n)} \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} int_g(N^{(n-1)})=N^{(n-1)} \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt weiter für alle $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} int_g(N^{(n)})=gN^{(n)}g^{-1}=N^{(n)} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ und die Behauptung folgt durch Umformen:
$\begin{eqnarray*} \forall g\in G : gN^{(n)}=N^{(n)}g \end{eqnarray*}$

Beweisende.

Ich bin mir etwas unsicher mit der Lösung.

Würdet Ihr kurz...

Danke! smile

27.01.2010, 16:05

schmouk

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push

28.01.2010, 15:22

Reksilat

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RE: Die iterierten Kommutatorgruppen
Bis auf ein paar kleine Unsauberkeiten ist der Beweis in Ordnung.

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} k\in N \end{eqnarray*}$ ein beliebiger Kommutator. Dann ist wegen $\begin{eqnarray*} int_g \end{eqnarray*}$ Gruppenhomomorphismus $\begin{eqnarray*} int_g(k)=int_g(a^{-1}b^{-1}ab)=int_g(a)^{-1}int_g(b)^{-1}int_g(a)int_g(b)\quad\in N\qquad (a,b\in N) \end{eqnarray*}$ .

Es geht um die Kommutatorgruppe von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ , also solltest Du vielleicht mit $\begin{eqnarray*} a,b\in N \end{eqnarray*}$ starten und dann erst $\begin{eqnarray*} k:=a^{-1}b^{-1}ab \end{eqnarray*}$ betrachten und zeigen, dass $\begin{eqnarray*} int_g(k)\in N' \end{eqnarray*}$ ist.
Außerdem besteht die Kommutatorgruppe nicht nur aus Kommutatoren, sondern kann auch Produkte verschiedener Kommutatoren enthalten, die sich selbst nicht unbedingt als Kommtator darstellen lassen. Das solltest Du ebenfalls berücksichtigen.

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} \forall g\in G \quad int_g: G\rightarrow G;\,\, x\mapsto int_g(x)=gxg^{-1}\quad (x\in G) \end{eqnarray*}$ ein innerer Automorphismus von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ .

Das "sei" ist hier unangebracht. Besser: "Für alle $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ ist ... ein innerer Automorphismus." (Quantoren sind sowieso überflüssig.)

Zitat:

Mit Induktion über $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} int_g(N^{(n)})=N^{(n)} \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} int_g(N^{(n-1)})=N^{(n-1)} \end{eqnarray*}$ .

Also folgt aus $\begin{eqnarray*} N^{(n-1)}\trianglelefteq G \end{eqnarray*}$ , dass auch $\begin{eqnarray*} N^{(n)}\trianglelefteq G \end{eqnarray*}$ ist. Die letzte Zeile finde ich dagegen eher verwirrend. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

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