Wann schwimmt eine Kugel samt Inhalt? -> Rotationskörper

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sebbi2010 Auf diesen Beitrag antworten »
Wann schwimmt eine Kugel samt Inhalt? -> Rotationskörper
Wann schwimmt eine Hohlkugel samt Inhalt?

Ein Abenteurer (m = 80 kg) stürzt sich in einer Hohlkugel aus dünnem Stahlblech (m = 1000 kg, Durchmesser 2m) die Niagara-Fälle herunter. Aufgrund einer Undichtigkeit füllt sich die Kugel bis zu einer Höhe von 50 cm mit Wasser (Dichte w=1000 kg/m3).

Vereinfachungen: Dicke des Stahlblechs sowie Dichte der Luft seien vernachlässigbar und der Abenteurer stehe nicht im Wasser.

a) Schwimmt die Kugel oder geht sie unter? Tipp: Berechnen Sie zunächst die Gesamtmasse von Kugel, Abenteurer und Wasserinhalt (Tipp: Rotationsvolumen) und zeigen Sie, dass die mittlere Dichte dieses Köpers kleiner als die von Wasser ist.
b) Wie tief taucht die Kugel ins Wasser ein (Tipp: Rotationsvolumen plus Newton-Verfahren)?
c) Wie viele Prozent ihrer Oberfläche sind unter Wasser (Tipp: Mantelfläche eines Rotationskörpers)?
d) Ab welchem Füllstand würde die Kugel untergehen (Tipp: Newton-Verfahren)?


Aufgabe a habe ich richtig gelöst, jedoch fallen mir die restlichen teilaufgabe sehr schwer, da ich nicht den richtig ansatz finde. ich bitte um schnelle hilfe, da ich nächste woche eine klausur schreiben werde und die aufgabe höchstwahrscheinlich dran kommt.

Viele Grüße sebbi
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

(b)

Prinzip des Archimedes: Die Auftriebskraft, die ein Körper in einer Flüssigkeit erfährt, ist gleich der Gewichtskraft der von ihm verdrängten Flüssigkeitsmenge.

--> Verdrängte Flüssigkeitsmenge = Volumen des unter Wasser liegenden Kugelsegmentes x Spezifische Masse (Dichte) des Wassers



mY+
 
 
sebbi2010 Auf diesen Beitrag antworten »
Wie tief taucht kugel ein?
hey, erstmal danke für die antwort. auf diese genannte formel bin ich auch schon gekommen jedoch MÜSSEN wir es mittels newton verfahren ausrechnen, aber um dies zu machen bräuchte ich doch erstmal ne funktion oder?
habe hier mal die lösungen zu den jeweiligen aufgaben.

Lösungen:
a) Mittlere Dichte (Kugel mit Inhalt) Dichte k = 414,1 kg/m3 < Dichtew = 1000 kg/m3
=> Kugel schwimmt
b)Die Eintauchtiefe (Wasserlinie) beträgt a = 0,882 m
c)Mantelfläche unter Wasser M = 1,764 Pi m2 = 5,54177 m2 => Flächenanteil= 44,1%
d)Falls der Wasserpegel in der Kugel über hkritisch = 1,34 m läge

wäre nett, wenn du einen lösungsansatz herausbekommen würdest...

viele grüße aus pfalz
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie tief taucht kugel ein?
Zitat:
Original von sebbi2010
...
wäre nett, wenn du einen lösungsansatz herausbekommen würdest...
...

Big Laugh
Du meinst, ich habe diesen noch nicht? Die Lösung ist aber eigentlich DEINE Aufgabe, den Tipp dazu habe ich dir schon gegeben. Und nötigenfalls wirst du durchaus mit dem Newtonverfahren rechnen müssen, nämlich dann, wenn die entstehende Gleichung gar nicht anders, als näherungsweise, zu lösen ist.

Das Volumen des Kugelsegmentes und auch das der Kugel kann entweder mit der "fertigen Formel" (KS .. oben angegeben) oder als Rotationsintegral nach den bekannten Regeln ermittelt werden.

Setze also das Gesamtgewicht der Kugel samt Wasser und dem Wahnsinnigen da drinnen gleich dem Gewicht des Wassers, welches der unter Wasser liegende Teil der Kugel (KS) verdrängt. Damit erhältst du eine Gleichung in h (h = Eintauchtiefe, bei dir a genannt), die den Grad 3 hat und ohnehin mit dem Newtonverfahren gelöst werden muss (beachte, dass in gleichen Einheiten gerechnet werden muss, r = 10 dm^3).

Und bevor du nun fragst, wie das nun mit dem Newtonverfahren eigentlich funktioniert, suche zuerst mal im Board hier, da wurde dies auch schon ausgiebig besprochen.

Die Gleichung dritten Grades in h (oder a) hat zwei positive Lösungen, wobei du auf Grund der Angaben sofort entscheiden kannst, welche als sinnvoll in Frage kommt. Übrigens ist die Eintauchtiefe bei mir 0,885 m und nicht 0,882 m.

Viele Grüße aus Wien

mY+
sebbi2010 Auf diesen Beitrag antworten »
s.o
Zitat:
Setze also das Gesamtgewicht der Kugel samt Wasser und dem Wahnsinnigen da drinnen gleich dem Gewicht des Wassers, welches der unter Wasser liegende Teil der Kugel (KS) verdrängt


wenn ich das gesamtgewicht ( 1734,5 kg bzw. Liter) gleich dem gewicht des wasser, welches in der kugel ist gleichsetzte, kommt bei irgentwie nichts nutzbares heraus.
ist es nicht so, dass das wasser in der kugel gleich der formel für den unter wasser liegenden teil ist?
ich verstehe das nicht so ganz....wäre schön wenn du die gedult hättest mir es viell. noch verstänlicher zu machen??? wäre dir wirklich sehr dankbar...schreibe am montag klausur und auf diese aufgabe gibt es einige punkte!

viele grüße und danke für die bemühungen...ich weiß das zu schätzen!
sebbi2010 Auf diesen Beitrag antworten »
s.o
achja...das verdrängte volumen ist 654,5 Liter bzw. Kg oder?
sebbi2010 Auf diesen Beitrag antworten »
gleichung
und dann hab ich das ganze mit 0 gleichgesetzt...dann habe ich h ausgeklammert und mit p-q formel weiter gemacht, aber es kam nicht der gewünschte wert raus
sebbi2010 Auf diesen Beitrag antworten »
s.o
oder muss ich ganz anderes rangehen? soll ich das volumen der kugel und das volumen des segmentes gleichsetzen und dann die gleichung nach 0 umstellen? und aus dieser gleichung das newton verfahren anwenden? sitze schon seit stunden dran....drehe bald durch ;-)
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichung
Zitat:
Original von sebbi2010
und dann hab ich das ganze mit 0 gleichgesetzt...dann habe ich h ausgeklammert und mit p-q formel weiter gemacht, aber es kam nicht der gewünschte wert raus


Die Gleichung ist sinngemäß richtig. Allerdings wird da die p-q - Formel nicht greifen, denn die Gleichung ist vom Grad 3 und das wird auch durch Ausklammern nicht geändert. Welchen Wert hast du für r eingesetzt? Wie hast du denn das genau gerechnet? Ich vermute nämlich dabei schon einen Fehler deinerseits. Ich sagte dir oben schon, dass diese Gleichung (nur) mit Newton zu lösen ist.

Letztendlich sollte eigentlich 1734,50 statt 1735,50 stehen. Du solltest keine Zwischenergebnisse runden, die kannst du ja in voller Länge zwischenspeichern.

mY+
sebbi2010 Auf diesen Beitrag antworten »
gleichung
hey...
also die Gesamtmasse errechnet sich aus 1000kg(Stahlblech) + 80kg(Person) + Wasserinhalt der Kugel

Wasserinhalt der Kugel:

mit r= 10dm^3 = 10L = 1m
mit h= 5L=0,5 m

...und wie mache ich das nun mit newton? dazu brauche ich ja eine gleichung. kann ich dazu die gleichung nutzen?
sebbi2010 Auf diesen Beitrag antworten »

diese gleichung ist gemeint.

PS: ich komme auch auf eine Gesamtmasse von 1734,5 Kg....war nur ein schreibfehler sry.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du kannst/sollst diese Gleichung lösen! Also setze noch für r den gegebenen Wert ein und los geht's!

mY+
sebbi2010 Auf diesen Beitrag antworten »



dieses gleichung würde ich folgendermaßen umstellen:



mit dieser gleichung würde ich dann mittels startwert x=1 beginnen....und ich muss die gleichung nach h integrieren, oder?

vielen dank im vorraus.....
sebbi2010 Auf diesen Beitrag antworten »

Startwert f f' 1-f/f'
1,0000 -5112,4000 197,0700 29,5497
29,5497 -3968,2400 -2659,5850 -0,4921

komme nicht auf das gewünschte ergenis.

meine ableitung der funktion sieht wie folgt aus:

sebbi2010 Auf diesen Beitrag antworten »
ergebnis
ich komme zu einem wert von 0,5 m....kann dies sein? wahrscheinl. nicht. wo könnte mein fehler liegen?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Iteration ist erstens nicht schon beim ersten Schritt abzubrechen. Zweitens soll der Startwert wenigstens in der Nähe der vermuteten Nullstelle liegen. Weshalb nimmst du als Startwert gerade 1? Sind das nun 1 m oder 1 dm ?? Wie hältst du es damit, während der Rechnung die gleichen Einheiten beizubehalten? Wenn du 1 (?) dennoch nimmst, kommst du mit diesem doch nie auf 0,5 m.
Damit würdest du dich einer anderen Nullstelle (27.87) nähern, die jedoch nicht die zu erwartende Lösung darstellt.

Und bitte, unterlasse die dauernden Mehrfachposts, solange du (noch) die EDIT-Funktion benützen kannst.

mY+

[attach]13224[/attach]
sebbi2010 Auf diesen Beitrag antworten »
newton
hey, also ich habe 1 m als startwert gewählt, da ich finde, dass der wert dem ergebnis schon ziemlich nahe kommt. ich weiß ja eigentlich im vorraus die lösung nicht, deswegen wählte ich diesen wert!
auf die gerundete zahl 0,5 bin ich durch einsetzten der 27,87 gekommen.

welchen startwerte sollte ich deiner meinung nach nehmen?
falls, wie in meinem fall, man 1m nimmt muss dann ja 10L (1m = 10 dm^3) einsetzten, da ich dies auch für den radius gemacht hab.

liege ich soweit richtig?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

27.87 ist KEINE sinnvolle Lösung! Weshalb nicht?

Wenn du mit 1 m beginnen willst, musst du in der Gleichung stattdessen aber 10 dm setzen, denn die Maße in der Gleichung sind in dm! Bei Rechnung mit der Dichte (spezifischen Masse) muss diese Zuordnung eingehalten werden:

cm^3 --> g
dm^3 (Liter) --> kg
m^3 --> t

mY+
sebbi2010 Auf diesen Beitrag antworten »

so....ich weiß jetzt wo mein fehler lag: ich habe bei der formel von newton immer 1-f/f' gemacht, anstatt immer wieder von dem neueren wert auszugehen. das mit einheiten ist mir nur auch klar. das ergebnis ist in L (Kg) angegeben, deswegen muss man noch durch 10 damit man m herausbekommt. hab jetzt alles verstaden...danke dir für deine geduld... Freude

aber ich bin noch auf eine andere lsg. gestoßen:

man kann ja auch die dichte von der kugel x Volumen der Kugel nehmen und dass dann durch die dichte des Wassers x Volumen Kugel teilen und dann x100%. es kommt heraus, wieviel prozent der kugel unter wasser sind und kann dies dann auf den durchmesser der kugel übertragen...

zu aufgabe c.) ich soll die mantelfläche der kugel unter wasser bestimmen. nach der formel brauche ich 2 grenzen....ist das dann von 0 bis 0,885?

PS: ich habe eben auf dein alter geschaut und mir ist aufgefallen, dass ich erst 21 bin und ich dich die ganze zeit mit du ansprach. ich hoffe dies ist nicht allzuschlimm. in der heutigen zeit ist dies zwar alltag, da die meisten heranwachsenden keinen respekt mehr haben, dies ist aber bei mir nicht so, ganz im gegenteil. Das wollte ich nur mal klar stellen, damit du kein falsches "bild" von mir bekommst Augenzwinkern ....
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das *DU* stellt überhaupt kein Problem dar, im Forum duzen wir uns alle, das ist schon in Ordnung so.

Du kannst NICHT aus dem Prozentanteil des Volumens unter Wasser schließen, dass dieser für den Durchmesser genau so lautet. Das funktioniert gerade mal bei der Halbkugel. Wenn sich aber zum Beispiel ein Viertel des Kugelvolumens unter Wasser befindet, heisst das nicht, dass auch ein Viertel des Durchmessers ins Wasser taucht. Die Kugel wird etwa zu etwa 65,3% des Radius einsinken! Weshalb? Du könntest dies mal auch durch Rechnung belegen.

(c)

Ja. Der Mantel lässt sich auch (zur Kontrolle deines Rotationsintegrals) als Kugelhaube (Kalotte) mit der Formel beschreiben.

Weitere Diskussionen bitte morgen (Fragen kannst du natürlich stellen), ich gehe aber jetzt schlafen. Gute Nacht.

mY+
sebbi2010 Auf diesen Beitrag antworten »

guten morgen, habe jetzt endlich zeit. du magst zwar recht haben, dass diese formel nicht für alles kugelarten funktioniert, aber für mein bsp. hatte es ja zum glück gereicht ;-)...aufgabe c habe ich erfolgreich gelöst.
aufgabe d verstehe ich nicht so ganz. die kugel würde doch unter gehen, wenn gewichtskraft größer als die auftriebskraft ist.

hier muss ich bestimmt ähnlich vorgehen wie bei aufgabe b, leider komme ich aber nicht auf meine funktion mit hilfe dere ich das newto-verfahren anwenden könnte hier nochmal die aufgabe d incl. Lösung

d.)Ab welchem Füllstand würde die Kugel untergehen (Tipp: Newton-Verfahren)?

Lösung:
Falls der Wasserpegel in der Kugel über hkritisch = 1,34 m läge
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wie hast du versucht, deine Gleichung zu erstellen?
Hast du das Prinzip der Wasserverdrängung wirklich verstanden?
Falls ja, dann dürfte dir der Ansatz eigentlich nicht so schwer fallen.

Setze die Masse der Kugel + die des Wahnsinnigen + die (noch unbekannte, mit dem Wasserstand a behaftete) Masse des in der Kugel befindlichen Wassers gleich der Masse des von der gesamten Kugel verdrängten Wassers, und du hast bereits deine Gleichung ... (a = 133,55 cm)

mY+
sebbi2010 Auf diesen Beitrag antworten »

ok vielen dank......
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