Partialbruch, komplexe Nullstellen

27.01.2010, 11:31

Jerome Morrow

Auf diesen Beitrag antworten »

Partialbruch, komplexe Nullstellen

Hallo, ich beschäftige mich mit der PBZ, aber das mit den mehrfach komplexen Nullstellen habe ich leider immernoch nicht richtig verstanden.
wenn cih also eine reelle gebrochene Funktion habe mit:

r(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{p(x)}{q(x)} \end{eqnarray*}$

und q(x) hat dabei keine reellen Lösungen, dafür aber mehrfach komplexe Nullstellen. spalte ich es dann auf in:

r(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{px}{qx} = \frac{A_{1} }{x-a - iß} + \frac{A_{2} }{(x - a + iß)²} \end{eqnarray*}$

und habt ihr vielleicht ein Beispiel dazu? wie würde dann z.B. die Integration ausschauen?

Noch ein paar Fragen:
bei der Funktion $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+x²} \end{eqnarray*}$ handelt es sich um eine echt gebrochen rationale Funktion. Wie spaltet man den Nennerfaktor auseinander? bzw wie integriert man das?
Ich bin auch irgenwo auf arc tan gekommen, damit kenne ich mich garnicht aus. Was hat es mit arc tan zu tun? und wo muss ich arc tan anwenden?

und noch eine kleine aufgabe: (bei der ich nicht wieterkomme)

$\begin{eqnarray*} \frac{Z(x)}{N(x)} = \frac{x²-3x+5}{2x^{4} - x } \end{eqnarray*}$

da hätte ich die lösungen, aber nicht den lösungsweg.

würde mich über Hilfe freuen bzw über Tipps.

27.01.2010, 11:39

Jerome Morrow

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Partialbruch, komplexe Nullstellen
$\begin{eqnarray*} \frac{Z(x)}{N(x)} = \frac{x²-3x+5}{2x^{4} - x } \end{eqnarray*}$

wenn man nur den Nenner betrachtet bzw die Faktoren auseinander ziehen will erhält man:

$\begin{eqnarray*} N(x) = x(2x³-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1}= 0 \end{eqnarray*}$

danach habe ich $\begin{eqnarray*} 2x³-1=0 \end{eqnarray*}$
also $\begin{eqnarray*} x³=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
3. wurzel: $\begin{eqnarray*} x_{2}=\frac{1}{\sqrt[3]{2} } \end{eqnarray*}$

joa und dann weiß ich nicht mehr
Die aufgabe hat anscheinend nichts mit mehfach komplexen Nullstellen zu tun, zu denen ich eigentlich etwas wissen will.

27.01.2010, 12:04

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Partialbruch, komplexe Nullstellen
Bleiben wir erstmal beim dieser Aufgabe. Da mußt du als nächstes eine Polynomdivision $\begin{eqnarray*} (2x^3 - 1) : (x - \frac{1}{\sqrt[3]{2}}) \end{eqnarray*}$ machen.

27.01.2010, 12:58

Jerome Morrow

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Partialbruch, komplexe Nullstellen
$\begin{eqnarray*} (2x^3 - 1) : (x - \frac{1}{\sqrt[3]{2}}) = 2x²+\frac{2x}{\sqrt[3]{2} } +\frac{2}{\sqrt[3]{4} } \end{eqnarray*}$

sicher bin ich mir nicht...

27.01.2010, 13:17

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Partialbruch, komplexe Nullstellen
Das ist ok. Jetzt brauchst du von dem quadratischen Polynom die Nullstellen. Sollten diese komplex sein, dann wird das nicht weiter zerlegt und du kannst denn Partialbruchansatz aufstellen.

27.01.2010, 13:20

TommyAngelo

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht wirkt es ja für dich schöner, wenn du es so schreibst:

$\begin{eqnarray*} 2x^2+2^{\frac{2}{3}}x+2^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$

Anzeige

27.01.2010, 13:22

Jerome Morrow

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Partialbruch, komplexe Nullstellen
die diskriminante ist negativ, das heißt es gibt komplexe Nullstellen.
2 reelle und (ich glaube) 2 komplexe; woher weiß ich genau dass es 2 komplexe gibt? Fundamentasatz der Alegbra?

27.01.2010, 13:25

TommyAngelo

Auf diesen Beitrag antworten »

Japp, dieser besagt, dass ein Polynom n-ten Grades n Nullstellen in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ hat. Wenn es nur zwei reelle gibt, das Polynom aber vierten Grades ist, fehlen ja noch zwei.

Du hast jetzt also:

$\begin{eqnarray*} 2x^4-x=x(x-2^{-\frac{1}{3}})(2x^2+2^{\frac{2}{3}}x+2^{\frac{1}{3}}) \end{eqnarray*}$

27.01.2010, 13:30

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Partialbruch, komplexe Nullstellen

Zitat:

Original von Jerome Morrow
2 reelle und (ich glaube) 2 komplexe; woher weiß ich genau dass es 2 komplexe gibt? Fundamentasatz der Alegbra?

verwirrt

Ein Polynom 2. Grades mit reellen Koeffizienten hat entweder genau 2 reelle oder 2 komplexe Nullstellen (jeweils incl. der Vielfachheit).

27.01.2010, 13:44

Jerome Morrow

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} 2x^4-x=x(x-2^{-\frac{1}{3}})(2x^2+2^{\frac{2}{3}}x+2^{\frac{1}{3}}) \end{eqnarray*}$ [/quote]

gut dann kann ich ja schreiben:

$\begin{eqnarray*} \frac{x²-3x+5}{2x^{4} - x } =\frac{A} {x} + \frac{B}{x-2^{-\frac{1}{3} } }+\frac{Cx + D}{2x^2+2^{\frac{2}{3}}x+2^{\frac{1}{3}}} \end{eqnarray*}$

27.01.2010, 13:48

Jerome Morrow

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Partialbruch, komplexe Nullstellen

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Jerome Morrow
2 reelle und (ich glaube) 2 komplexe; woher weiß ich genau dass es 2 komplexe gibt? Fundamentasatz der Alegbra?

verwirrt

Ein Polynom 2. Grades mit reellen Koeffizienten hat entweder genau 2 reelle oder 2 komplexe Nullstellen (jeweils incl. der Vielfachheit).

hier handelt es sich doch um ein Polynom 4. grades., nämlich $\begin{eqnarray*} 2x^{4}- x \end{eqnarray*}$ , die höchste potenz ist 4.

27.01.2010, 14:03

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Partialbruch, komplexe Nullstellen
An dieser Stelle waren wir bei einem Polynom 2. Grades angekommen, um deren Nullstellen es noch ging:

Zitat:

Original von Jerome Morrow
$\begin{eqnarray*} (2x^3 - 1) : (x - \frac{1}{\sqrt[3]{2}}) = 2x²+\frac{2x}{\sqrt[3]{2} } +\frac{2}{\sqrt[3]{4} } \end{eqnarray*}$

sicher bin ich mir nicht...

Ich habe auch explizit erwähnt, daß sich meine Aussage auf ein Polynom 2. Grades bezieht.

27.01.2010, 17:18

Jerome Morrow

Auf diesen Beitrag antworten »

achso ok, gut dann hätten wir schonmal die aufgabe, die ich eigentlich nicht weiter behandeln möchte, da wir sie schon in faktoren zerlegt haben.

was is mit den anderen punkten, z.B. was hat es mit dem arc tan auf sich? wann verwendet man ihn?

28.01.2010, 07:38

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe die Frage nicht. Man verwendet den arctan dann, wenn man ihn braucht, z.B. bei $\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{1+x^2}~dx \end{eqnarray*}$ .

28.01.2010, 09:13

TommyAngelo

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie integriert man denn z.B. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2+x+1} \end{eqnarray*}$ ?

28.01.2010, 09:59

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

@TommyAngelo: das ist doch gar nicht dein Thread. An wen richtet sich nun die Frage?

28.01.2010, 12:15

TommyAngelo

Auf diesen Beitrag antworten »

Immer an den, der fragt Big Laugh

Big Laugh

28.01.2010, 12:27

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Substituiere $\begin{eqnarray*} x = \frac{\sqrt 3}{2}u - \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »