Nullstellen des komplexen Sinus

27.01.2010, 13:39

eey

Nullstellen des komplexen Sinus

Hallo, hab Probleme damit die Nullstellen des komplexen sinus rauszukriegen...

das währe doch, laut definition:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{jz}-e^{-jz}}{j2}=0 \end{eqnarray*}$

Also, das j2 kann ich ja einfach rübermultiplizieren, dann bleibt:

$\begin{eqnarray*} e^{jz}-e^{-jz}=0 \end{eqnarray*}$

Also bleibt noch:

$\begin{eqnarray*} jz = -jz \end{eqnarray*}$

und das ist doch nur für z=0 erfüllt, oder?

Die Nullstellen müssten doch aber Periodisch mit pi sein, wie im reellen, oder? Aber wie soll ich da drauf kommen? Versteh das noch nicht so ganz....

Genauso ne andere Aufgabe, die so ähnlich gehen soll, und zwar: Gibt es ein z element C, für das gilt:

$\begin{eqnarray*} \sin(z)=2 \end{eqnarray*}$

Da hät ich ja so nenähnlichen Ansatz, nämlich:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{jz}-e^{-jz}}{j2}=2 \end{eqnarray*}$

und dann:

$\begin{eqnarray*} e^{jz}-e^{-jz}=j4 \end{eqnarray*}$

aber wie gehts dann weiter??

Versteh das leider noch nicht so ganz... verwirrt

27.01.2010, 13:46

Rmn

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RE: Nullstellen des komplexen Sinus
Schau dir genauer an, wie man Logarithmus auf komplexe Zahlen anwendet. Es bleibt niicht nur $\begin{eqnarray*} jz = -jz \end{eqnarray*}$ , sondern kommt noch was dazu.

27.01.2010, 14:12

eey

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Hey, danke für die Antwort,

habs mal ausprobiert, aber irgendwie komm ich nicht so wirklich weiter. Der komplexe Logarithmus ist ja

$\begin{eqnarray*} \log(z)=\ln(|z|)+j \cdot Arg(z) \end{eqnarray*}$

So, das Problem ist ja jetzt dass ich keinen Betrag angeben kann, weil ich z ja nicht kenne! Auch den Winkel kenn ich nicht....

Habs mal so versucht: z=x+jy aber irgendwie kommt da auch nix vernünftiges raus, am Ende hatte ich

$\begin{eqnarray*} y=j\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

aber das kann doch nicht sein, den y muss doch eine reelle Zahl sein, oder?

27.01.2010, 16:12

eey

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Einen kleinen tipp vielleich noch....?

Komm alleine leider echt nicht drauf, stimmt zumindest mein Ansatz?

27.01.2010, 16:18

system-agent

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Anstatt den komplizierten Logarithmus zu nutzen, nehme
$\begin{eqnarray*} e^{jz}-e^{-jz}=0 \end{eqnarray*}$ und das kannst du umformen zu
$\begin{eqnarray*} e^{2jz}=1 \end{eqnarray*}$ .

Nun nutze, dass $\begin{eqnarray*} \ker(\exp)=2\pi j\mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

27.01.2010, 16:54

eey

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Ok, danke. So sieht das ja schon viel besser aus smile

ich versteh aber noch nicht so ganz was du mit

$\begin{eqnarray*} \ker(\exp) \end{eqnarray*}$

meinst...?

27.01.2010, 16:59

jester.

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$\begin{eqnarray*} \ker(\exp)=\{z\in\mathbb{C} ~|~ \exp(z)=0\} \end{eqnarray*}$ smile

Edit: Das ist natürlich Unsinn, exp(z)=0 ist nie erfüllt - gemeint ist die 1, wie unter mir schon richtigerweise angemerkt.

27.01.2010, 17:14

eey

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Hmm, aber e^z soll doch eins sein und nicht Null, oder?

Also wenn ich das richtig verstehe bedeutet dass doch dass

$\begin{eqnarray*} e^z=0 \end{eqnarray*}$

gilt, wenn

$\begin{eqnarray*} z=2\pi j \cdot k \end{eqnarray*}$

ist, mit k gleich einer ganzen Zahl. Stimmt das so?

27.01.2010, 17:17

Airblader

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Edit: Da war ich grad selber aufm falschen Weg, sorry. Augenzwinkern

air

27.01.2010, 18:14

system-agent

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Nein, die Exponentialfunktion erfüllt $\begin{eqnarray*} \exp(z+w)=\exp(z)\exp(w) \end{eqnarray*}$ , ist also ein Gruppenhomomorphismus von der additiven Gruppe $\begin{eqnarray*} (\mathbb C,+) \end{eqnarray*}$ zur multiplikativen Gruppe $\begin{eqnarray*} (\mathbb C\setminus\{0\},\cdot) \end{eqnarray*}$ . Damit ist
$\begin{eqnarray*} \ker(\exp)=\{z\in\mathbb C\quad:\quad\exp(z)=1\} \end{eqnarray*}$ .

27.01.2010, 19:05

eey

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Zitat:

Original von system-agent
Nein, die Exponentialfunktion erfüllt $\begin{eqnarray*} \exp(z+w)=\exp(z)\exp(w) \end{eqnarray*}$ , ist also ein Gruppenhomomorphismus von der additiven Gruppe $\begin{eqnarray*} (\mathbb C,+) \end{eqnarray*}$ zur multiplikativen Gruppe $\begin{eqnarray*} (\mathbb C\setminus\{0\},\cdot) \end{eqnarray*}$ . Damit ist
$\begin{eqnarray*} \ker(\exp)=\{z\in\mathbb C\quad:\quad\exp(z)=1\} \end{eqnarray*}$ .

Hä? Entschuldigung, aber das versteh ich leider nicht wirklich!?

Also ker(exp) sind alle z die die Gleichung exp(z)=1 erfüllen, richtig? Nur wie komme ich jetzt auf diese z?

27.01.2010, 19:30

system-agent

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Ich habe dir schon gesagt welche $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ das sind. Nur leider nutzt es dir nicht, wenn ihr es nicht in der Vorlesung gezeigt habt. Denn das braucht einen Beweis.

27.01.2010, 20:36

eey

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Wir hatten das schon, nur hab ichs nicht verstanden unglücklich

Kannst du mir nicht einfach mal ein Beispiel (außer 0) für so ein z geben? Vielleicht kapier ichs dann, aber so schwer kann dass doch nicht sein traurig

27.01.2010, 23:51

system-agent

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Ich schreibe dir die Definition der Schreibweise nochmal hin, dann wirds schon klick machen Augenzwinkern

:
$\begin{eqnarray*} 2\pi j\mathbb Z:=\{2\pi j k\in\mathbb C\quad : \quad k\in\mathbb Z\} \end{eqnarray*}$ .

28.01.2010, 10:39

eey

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Ach so, also praktisch:

$\begin{eqnarray*} e^z=1 \end{eqnarray*}$

für alle z

$\begin{eqnarray*} z=2\pi j \cdot k \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} k \in ~\mathbb Z \end{eqnarray*}$

Stimmt das jetzt so?

28.01.2010, 11:32

system-agent

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Ja, das stimmt.

In deiner Aufgabe ist also $\begin{eqnarray*} e^{2jz}=1 \end{eqnarray*}$ zu lösen. Welche Form muss dann $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ haben, damit im Exponenten das gewünschte steht?

28.01.2010, 11:49

eey

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Oh mann, mir fällts gerade wie Schuppen von den Augen! geschockt

Ja klar, z muss

$\begin{eqnarray*} z=\pi \cdot k \end{eqnarray*}$

sein,mit $\begin{eqnarray*} &k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Mir ist jetzt auch grade klar geworden WARUM, denn wenn sich mein komplexer Zeiger (mit dem Betrag 1) beim Punkt (1,0) befindet und ich dreh ihn um 2 Pi weiter, ist er ja wieder auf dem Punkt (1,0). Genauso wenn ich ihn um 4 Pi, oder 6 Pi, oder -10 Pi drehe!

Ok, habs jetzt endlich kapiert, vielen Dank für die Hilfe! Gott

Die Nullstellen des komplexen Sinus sind also die gleichen wie die des reellen sinus.

EDIT: Die Aufgabe passt übrigens ganz gut zu dem Smilie in deinem Avatar, den kapier ich jetzt endlich auch Big Laugh

28.01.2010, 12:55

system-agent

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Beachte aber, dass das "Zeigerargument" nur im Reellen funktioniert.
Zunächst ist es nämlich gar nicht klar, dass der komplexe Sinus keine weiteren Nullstellen hat als der reelle.

28.01.2010, 13:13

eey

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Ok, dann vielen Dank für deine Hilfe Freude

Hab aber leider schon das nächste problem unglücklich

Und zwar wollt ich mich an folgender Aufgabe versuchen:

Gibt es ein z mit $\begin{eqnarray*} \sin(z)=2 \end{eqnarray*}$ ?

Ok, hab den gleichen Ansatz gewählt, der da wäre:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{jz}-e^{-jz}}{j2}=2 \end{eqnarray*}$

Also umgeformt:

$\begin{eqnarray*} e^{jz}-e^{-jz}=j4 \end{eqnarray*}$

Tja... und jetzt? Diemal kann ich ja leider nicht durch $\begin{eqnarray*} e^{jz} \end{eqnarray*}$ teilen...

Hab mir folgendes überlegt (mit Substitution):

$\begin{eqnarray*} u=e^{jz} \end{eqnarray*}$

Also steht nach umformen dann da:

$\begin{eqnarray*} u^2-j4u-1=0 \end{eqnarray*}$

also ist u:

$\begin{eqnarray*} u_{1,2}=j(2 \pm \sqrt{3}) \end{eqnarray*}$

So, dann hab ich folgende Gleichung:

$\begin{eqnarray*} e^{jz}=j(2 \pm \sqrt{3}) \end{eqnarray*}$

So, dabei ist j ja nichts anderes als:

$\begin{eqnarray*} j=e^{j\frac{\pi}{2}+2\pi \cdot k} \end{eqnarray*}$

Also teil ich beide Seiten und erhalte dann:

$\begin{eqnarray*} e^{jz-j\frac{\pi}{2}-2\pi \cdot k}=(2 \pm \sqrt{3}) \end{eqnarray*}$

Also ist das Ergebniss rein reell... aber wie soll ich hier weitermachen??

Die Lösung sollte nämlich sein:

$\begin{eqnarray*} z=\frac{\pi}{2}+2\pi \dot k \pm arcosh(2) \end{eqnarray*}$

Aber wie kommt man auf die arcosh(2)?? Hab schon bei Wiki geschaut, aber da sind nur die Definitionen der Hyperbelfunktionen im reellen und nicht im komplexen, also hab ich leider keine Ahnung wie ich auf diese Lösung kommen soll unglücklich

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