int(sin(x)/x)

27.01.2010, 16:24

zac

int(sin(x)/x)

Hallo,
ich muss zeigen, dass folgendes Integral konvergiert:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \! \frac{\sin(x) }{x} \, dx \end{eqnarray*}$

Ich habe zweimal partiell integriert. Dabei drehe ich mich aber im Kreis.
Kann mir vll jemand helfen?

27.01.2010, 19:51

Mazze

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Ich denke wenn Du den Sinus als Taylorreihe schreibst, durch x teilst und Summandenweise integrierst sollte es klappen.

27.01.2010, 20:20

Leopold

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@ Mazze

erster Summand:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty} \frac{x}{x}~\dd x = \int_0^{\infty}~\dd x = \text{???} \end{eqnarray*}$

@ zac

Wenn du zunächst $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 2x \end{eqnarray*}$ substituierst, dann die Sinusformel für das doppelte Argument verwendest und schließlich partiell integrierst, kannst du vorbehaltlich Konvergenz folgendermaßen umformen:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x}~\dd x = \int_0^{\infty} \frac{\sin(2x)}{x}~\dd x = \int_0^{\infty} \frac{2 \sin x \cos x}{x}~\dd x = \int_0^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2}~\dd x \end{eqnarray*}$

Die Umformung läßt sich nachträglich rechtfertigen, wenn auch nur eines der vorkommenden Integrale konvergiert. Die Einzelheiten der Rechnung seien dir überlassen.

Übrigens: Die Konvergenz des Integrals muß nur bezüglich der oberen Grenze untersucht werden. Warum?

27.01.2010, 20:36

zac

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ok, ganz verstehe ich das nicht. Wenn du x durch 2x ersetzt, dann musst du das doch auch im nenner machen, oder.
Die erste Umfomung hast du mot den Additionstheoremen gemacht, das hab ich verstanden. Nur die letzte Umformung zu sin(x)^2 verstehe ich nicht.

27.01.2010, 20:58

Leopold

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Zitat:

Original von zac
Wenn du x durch 2x ersetzt, dann musst du das doch auch im nenner machen, oder.

Genau. Und dann auch noch beim Differential ...

Zitat:

Original von zac
Nur die letzte Umformung zu sin(x)^2 verstehe ich nicht.

Wie gesagt: Partielle Integration. Ein bißchen sollst du ja auch noch selbst zu knabbern haben. Rechne das einfach sorgfältig, vielleicht erst einmal mit einem $\begin{eqnarray*} R>0 \end{eqnarray*}$ als oberer Integrationsgrenze.

27.01.2010, 21:04

Mazze

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Ahja, danke für den Hinweis Leopold.

27.01.2010, 21:21

zac

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also dein tipp hat mich jetzt auch nicht wirklich weiter gebracht.
Ich weiß nicht was du mit "Differential..." meinst
Ich weiß schon, wie man partiell Integriert, aber das bringt mich auch nicht weiter da kommt ja dann ein ln mit der grenze 0 ist das aber nicht wirklich geschickt. Außerdem find ich dann keine Stammfunktion

27.01.2010, 23:17

Leopold

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Niemand hat davon gesprochen, daß du $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ integrieren sollst. Eine partielle Integration bezieht sich ja immer auf ein Produkt - und da gibt es doch zwei Faktoren, nicht wahr?

Und bei der Substitutionsregel darf man die Variable niemals nur in der Funktion selbst ersetzen, sondern muß das auch beim Differential $\begin{eqnarray*} \dd x \end{eqnarray*}$ tun. Führ dir diese Regel noch einmal zu Gemüte.

29.01.2010, 15:24

zac

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gut, das mit dem substituieren hab ich jetzt schon verstanden, nur die letzte umformung:

$\begin{eqnarray*} \frac{2\sin(x) \cos(x) }{x} = \frac{\sin(x) ^{2} }{x^{2} } \end{eqnarray*}$

verstehe ich nicht.

29.01.2010, 17:13

Leopold

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Zitat:

Original von zac
nur die letzte umformung:

$\begin{eqnarray*} \frac{2\sin(x) \cos(x) }{x} = \frac{\sin(x) ^{2} }{x^{2} } \end{eqnarray*}$

verstehe ich nicht.

Die ist ja auch falsch und wurde nie von mir behauptet. Ich behaupte lediglich

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty} \frac{2 \sin x \cos x}{x}~\dd x = \int_0^{\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2}~\dd x \end{eqnarray*}$

Und das beweist du durch partielle Integration:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b u'(x) \cdot v(x)~\dd x = \left. u(x) \cdot v(x) \right|_a^b - \int_a^b u(x) \cdot v'(x)~\dd x \end{eqnarray*}$

Leite erst einmal $\begin{eqnarray*} u(x) = \sin^2 x \end{eqnarray*}$ ab.

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