Integral von (4-x²)^(1/2)

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roland.lieret Auf diesen Beitrag antworten »
Integral von (4-x²)^(1/2)
Hallo,

ich habe bei einer Integralaufgabe ein Problem.
Die Aufgabenstellung ist wie folgt:

Die Aufgabe soll durch Substitution gelöst werden.

Ich habe das Integral durch

substituiert.

Durch Einsetzen und Auflösen, komme ich auf folgendes Integral:


Wie die 2+ integriere weiß ich, aber ich komme nicht auf die Integration von 2*cos (2u) .


Die Lösung lautet:


Kann mir einer weiterhelfen?
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Ich fürchte, beim Substituieren ist dir ein Fehler unterlaufen. Mit erhalte ich

Da der Radikand 4-x^2 nur für |x|<=2 nichtnegativ ist, liegt u zwischen -pi/2 und +pi/2 liegen (in dem Intervall ist sin(u) streng monoton). In diesem Intervall ist cos(u)>=0, du kannst also die Wurzel aus dem Quadrat weglassen:

Das kannst du nun partiell integrieren.

Gruss,
SirJective
 
 
roland.lieret Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

bei


war ich auch schon, ich wollte das Integral umformulieren, damit ich keine partielle Integration brauche. Wahrscheinlich bin da auf einem Irrweg.

Mit partielle Integration ist es machbar.


Aber trotzdem Danke!
grybl Auf diesen Beitrag antworten »

Versuchs mal mit 2*cos²(x)=1+cos(2x). Wink
roland.lieret Auf diesen Beitrag antworten »

Habe ich auch schon gehabt

siehe ersten Eintrag
2*(1+cos(2u)

Mein Problem ist:
wie integriere ich cos(2u)
grybl Auf diesen Beitrag antworten »

substituieren. 2u=v smile

roland.lieret Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

wenn ich das so mache, bzw. danach rücksubstituiere komme ich auf folgenden Part:


Ich weiß leider nicht wie ich das vereinfachen kann, dass ich auf diesen Ansatz der Lösung
komme.
carstenroll Auf diesen Beitrag antworten »

Hy,
ich hab das über die folgende Substituion gemacht

I = Int(x,sqrt(a^2 - x ^2))dx => Int(a*sin(t),a*cos(t)), a*cos(t) dt
mit x= a*sin(t)

Dann komme ich nach der Substituion auf 4*Int(cos^2(t))dt, mit Hilfe des Theorems cos^2(x) + sin^2(x) = 1 und nach der Rücksubstituion t=arcsin(x/a) erhalte ich
I= 2*sin(arcsin(x/2)) * cos(arcsin(x/2) + 2 arcsin(x/2) +C, nun kann man, um auf dein Ergebniss zu kommen, den ersten Teil mit 2/2 erweitern, und kann dann für 2*cos(arcsin(x/2)) sqrt(4-x^2) schreiben.
Und schon biste durch.

Gruß
Carsten
grybl Auf diesen Beitrag antworten »



Substitution x = 2*sin(u)

Du musst dann nur noch rücksubstituieren.
Wink
roland.lieret Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

wenn ich den letzten Ansatz von "grybl" nehme und rücksubstituiere, bekomme Ansatz:



Der erste Teil ist o.k.. Aber der zweite Teil sollte wie folgt ausschauen:


Wie kann den zweiten Teil des ersten Ansatzes umrechnen, damit ich auf die gleiche Lösung komme?

Hilfe
grybl Auf diesen Beitrag antworten »

sin(arcsin(x/2))=x/2

cos(arcsin(x/2))=
roland.lieret Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist echt genial "grybl".

Jetzt wie du es geschrieben hast, hätte ich auch selbst darauf kommen können.

Aber trotzdem, einen großen Dank an Dich
grybl Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte! smile
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