Erzeugung von SigmaAlgebren

27.01.2010, 17:48

nane

Erzeugung von SigmaAlgebren

allo bin gerade bei der Klausur-Vorbereitung für den Kurs Wahrscheinlichkeitstheorie 1, der bei uns auch dazu dient die Maßtheorie einzuführen. Dazu stell ich mir Fragen, wie sie auch der Prüfer fragen könnte.

Nun möchte ich euch bitten, mein Korrektiv zu sein. Würdet ihr auch so auf die Frage antworten? Was würdet ihr noch erwähnen usw...

Frage: Wie erhält man zu einem Mengensystem $\begin{eqnarray*} \mathcal{K} \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ eine SigmaAlgebra?

1) Definition Mengensystem

2) Definition SigmaAlgebra

3)
Sei $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ eine nichtleere Menge und $\begin{eqnarray*} \mathcal{K}:=\{K_i|K_i\subset\Omega\}(i\in\mathbb{N}) \end{eqnarray*}$ ein System von Teilmengen aus $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ .

Aus der Definition 2) folgt, dass Omega und die leere Menge in $\begin{eqnarray*} \sigma (\mathcal{K}) \end{eqnarray*}$ sind.
Seien desweiteren:

$\begin{eqnarray*} V:=\{V_k\in\Omega|\exists i\in I:V_k=\cup_{i\subset I}K_i\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C_V:=\{C_K\in\Omega| C_K:=\Omega-V_K\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_K:=\{S_k\in\Omega|\exists i\in I:S_k=\cap_{i\subset I}K_i\} \end{eqnarray*}$

ich hoffe ich habe alle nötigen Mengen erwischt verwirrt

Dann ist $\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal{K})=\{\Omega,\emptyset,V,C_V,S_K\} \end{eqnarray*}$ .

4) im Allgemeinen ist jedoch eine konkrete Angabe durch Aufzählung ihrer zugehörigen Mengen nicht mgl. Ist jedoch ein Mengensystem $\begin{eqnarray*} \mathcal{K} \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ gegeben, so existiert eine kleinste SigmaAlgebra, die K enthält.

5) BW zu 4)

Was sagt ihr ausreichend??

mFg nane

27.01.2010, 18:24

system-agent

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Deine Mengen $\begin{eqnarray*} V,C_V,S_K \end{eqnarray*}$ sind falsch definiert. Du möchtest ja Teilmengen $\begin{eqnarray*} V_k \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ haben, aber dann kannst du nicht $\begin{eqnarray*} V_k\in\Omega \end{eqnarray*}$ schreiben. Richtig wäre dann $\begin{eqnarray*} V_k\in\mathcal P(\Omega) \end{eqnarray*}$ [Potenzmenge].

Ich würde dich fragen, ob du es in ganz einfachen Worten sagen kannst, was $\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal K) \end{eqnarray*}$ bedeutet.
Danach würde ich dich fragen, wieso so etwas überhaupt existiert.

27.01.2010, 18:29

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Zitat:

Original von nane
ich hoffe ich habe alle nötigen Mengen erwischt verwirrt

Nicht im entferntesten. unglücklich

Betrachte dazu mal die Sigma-Algebra der Borelmengen des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^1 \end{eqnarray*}$ und als Erzeugendensystem die Intervalle

$\begin{eqnarray*} (-\infty,q] \end{eqnarray*}$ für alle rationalen $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$

Dein $\begin{eqnarray*} \{\Omega,\emptyset,V,C_V,S_K\} \end{eqnarray*}$ erfasst dann nur einen geradezu jämmerlichen Teil aller Borelmengen. Augenzwinkern

EDIT: system-agent hat mit seiner Kritik natürlich vollkommen Recht. Ich habe diese ominösen $\begin{eqnarray*} \exists i\in I \end{eqnarray*}$ in den Mengendefinitionen stillschweigend als $\begin{eqnarray*} \exists I\subseteq \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gelesen. Augenzwinkern

27.01.2010, 21:49

nane

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Guten Abend!

Vielen Dank erstmal für die Hinweise!

Zitat:

Original von system-agent

Ich würde dich fragen, ob du es in ganz einfachen Worten sagen kannst, was $\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal K) \end{eqnarray*}$ bedeutet.

$\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal{K}) \end{eqnarray*}$ ist das kleinste System von Teilmengen
aus $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , das $\begin{eqnarray*} \mathcal{K} \end{eqnarray*}$ enthält und die Eigenschaften einer SigmaAlgebra aufweist.

Zitat:

Danach würde ich dich fragen, wieso so etwas überhaupt existiert.

Da die Potenzmenge von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ als SigmaAlgebra die gewünschten Eigenschaften aufweist und $\begin{eqnarray*} \mathcal{K} \end{eqnarray*}$ enthält , ist die Existenz einer solchen SigmaAlgebra schonmal gesichert.
Wenn man nun $\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal{K}) \end{eqnarray*}$ als den Durchschnitt aller SigmaAlgebren, die $\begin{eqnarray*} \mathcal{K} \end{eqnarray*}$ enthalten definiert und zeigt,
dass dieser Schnitt wieder eine SigmaAlgebra ist, hat $\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal{K}) \end{eqnarray*}$ auch die geforderte Minimalitätseigenschaft.

Ich glaube der Versuch die SigmaAlgebra anzugeben zu wollen ist zwecklos - da hab ich mich wohl selbst aufs Glatteis geführt oder?

mFg nane

27.01.2010, 23:47

system-agent

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Jetzt sind deine Antworten perfekt Freude

.

Ja, direkt angeben ist nicht so nett.
Meiner Meinung nach kannst du das gepflegt vergessen. Ich meine wenns so einfach wäre, wieso sollte man dann $\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal K) \end{eqnarray*}$ als Schnitt vieler Sigma-Algebren definieren anstatt es gleich explizit hinzuschreiben...

Falls dich einer doch danach fragt was alles in der Sigma-Algebra drin ist, dann kannst du die Definition zitieren [danach also zwei spezielle Mengen, alle abzählbaren Vereinigungen und alle Komplemente].

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