Komplexe Eigenvektoren aus komplexen Eigenwerten berechnen

27.01.2010, 17:55	MatheProb	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Eigenvektoren aus komplexen Eigenwerten berechnen Hallo! Ich sitze gerade an folgender Aufgabe und habe eigtl nur ein winziges Problemchen, die richtigen Eigenvektoren zu bestimmen. Um es nachvollziehbar zu machen fange ich von ganz vorne an Finde die Eigenwerte und Eigenvektoren folgender Matrix: $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 4 & -5 & 7 \\ 1 & -4 & 9 \\ -4 & 0 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Als Eigenwerte habe ich $\begin{eqnarray} \lambda^{(1)} = 1 \end{eqnarray}$ erraten und mittels Polynomdivision $\begin{eqnarray} \lambda^{(2/3)} = 2 \pm 3i \end{eqnarray}$ ermitteln können. Den Eigenvektor $\begin{eqnarray} v^{(1)} = n \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} , n \in \mathbb R \end{eqnarray}$ konnte ich ohne Probleme berechnen, allerdings scheitere ich bei $\begin{eqnarray} v^{(2)} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v^{(3)} \end{eqnarray}$ . Mein bisheriger Rechenweg lautet für $\begin{eqnarray} \lambda^{(2)} = 2 + 3i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (A - \lambda E)x = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 - 3i & -5 & 7 \\ 1 & -6 - 3i & 9 \\ -4 & 0 & 3 - 3i \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4x^{(1)} = 3x^{(3)} - 3ix^{(3)} \end{eqnarray}$ dann ist $\begin{eqnarray} x^{(1)} = \frac{1 - i}{4} 3x^{(3)} \end{eqnarray}$ setze ich das jetzt für $\begin{eqnarray} x^{(1)} \end{eqnarray}$ in die erste Zeile ein, dann steht da: $\begin{eqnarray} (2 - 3i) \frac{1 - i}{4} 3x^{(3)} + \frac{28}{4} x^{(3)} = 5x^{(2)} \end{eqnarray}$ Ein paar wenige Umformungen... $\begin{eqnarray} 5x^{(2)} = \frac{6-9-6i-9i}{4} x^{(3)} + \frac{28}{4} x^{(3)}<br /> <br /> 5x^{(2)} = \frac{25-15i}{4} x^{(3)}<br /> \end{eqnarray}$ ...und ich erhalte durch multiplizieren mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{5} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} x^{(2)} = \frac{5 - 3i}{4} x^{(3)} \end{eqnarray}$ laut Musterlösung ist das auch schon (fast) richtig, nur kommen die während den obigen Umformungen zu der Erkenntnis, dass $\begin{eqnarray} x^{(3)} \end{eqnarray}$ = 1 sein soll. Den Schritt will ich einfach nicht verstehen, kann mir das bitte jemand erklären!? Scheint am grundsätzlichen Verständnis zu scheitern, denn bei allen anderen Aufgaben habe ich das selbe Problem... Viele Grüße, MatheProb
27.01.2010, 18:10	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Eigenvektor ist nur bis auf skalare Vielfache eindeutig. Zum Eigenwert 1 sind also beispielsweise auch (2,4,2) oder (-9,-18,-9) passende Eigenvektoren. Bei Deinem Eigenvektor kann die dritte Komponente beliebig gewählt werden. Setze zum Beispiel $\begin{eqnarray} x^{(3)}:=1 \end{eqnarray}$ und Du wirst die anderen Komponenten daraus berechnen können. Gruß, Reksilat.
27.01.2010, 18:27	MatheProb	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort aber ich steh noch auf dem Schlauch...warum ist die dritte Komponente frei wählbar? Man hat weder eine Nullzeile, noch kann man eine erzeugen. Also zumindest ICH nicht^^ Oder gibt es etwa doch eine lineare Abhängigkeit!? Bitte mit Erklärung g Viele Grüße
27.01.2010, 18:36	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ein Eigenvektor ist und $\begin{eqnarray} z\neq 0 \end{eqnarray}$ , dann ist logischerweise auch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}x/z\\y/z\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ein Eigenvektor. Hab leider nicht mehr Zeit. Ciao!
27.01.2010, 18:45	MatheProb	Auf diesen Beitrag antworten »
AAHHHH....PERFEKT Hat auf jeden Fall gereicht, damit der Groschen fällt Vielen vielen Dank!

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