Wahrscheinlichkeit in einer zufälligen Folge

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28.01.2010, 10:36	Linker	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeit in einer zufälligen Folge Ich habe folgende Frage (Abstraktion eines Zufallsprozesses): Gegeben sei ein Zufallsgenerator, der die Werte 0 und 1 zufällig aneinanderreiht (z.B. 11010111001101...) ; und er macht das so lange, bis in der Folge 3mal hintereinander eine 0 auftritt (z.B. ...101000 -> Ende). Er gibt mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,7 eine 1 aus und entsprechend mit der Wahrscheinlichkeit q=0,3 eine 0 aus. Nun ist gefragt, wie lange solch eine 0-1-Folge im Durchschnitt sein wird; also nach wieviel 0en und 1en sie durchschnittlich aufhören wird (Sie hört auf, wenn dreimal hintereinander eine 0 auftritt). Wie kann ich das mithilfe von Bernoulli-Ketten oder was auch immer tun?
28.01.2010, 11:14	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeit in einer zufälligen Folge Schau dir mal die geometrische Verteilung und ihre Bedeutung an, das sollte helfen.
28.01.2010, 11:24	Linker	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt also: Die Wahrscheinlichkeit, dass man n Versuche benötigt, um die erste Null in der Folge zu erzielen, berechnet sich zu: $\begin{eqnarray} P(X=n)=qp^{n-1} \end{eqnarray}$ Und wenn man dann nach n Versuchen di ersten 3 Nullen hintereinander erhält, was soll ich dann für einen Ansatz machen?
28.01.2010, 12:07	Royal Tomek	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich bezweifle, dass du hier mit der geometrischen Verteilung irgendwie weiterkommst. Sieh das ganze als Markovkette mit 4 Zuständen. A...zuletzt kein Nuller B...zuletzt genau ein Nuller C...zuletzt genau zwei Nuller D...zuletzt genau drei Nuller Die Zufallsvariable $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ bezeichne die Anzahl der Schritte aus dem Zustand A in den Zustand D. Was du suchst, ist $\begin{eqnarray} \mathbb{E}[X\|A]=\mathbb{E}[X] \end{eqnarray}$ Den kannst relativ leicht dir durch Zerlegung (wieder mal, gibt eh schon viele Bsp dazu hier) errechnen. Sei q die Wkt für eine 0 (in deinem Fall q=0.3). Dann gilt $\begin{eqnarray} \mathbb{E}[X]=(1-q)(\mathbb{E}[X]+1)+q\mathbb{E}[X\|B] \end{eqnarray}$ Jetzt zerleg einfach wieder den letzten EW in zwei, danach noch einmal und du bist fertig (musst dann nur mehr nach E(X) auflösen).
28.01.2010, 16:18	Linker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe Markovketten gerade kennengelernt. Ich kenn das so, dass man eine Wkt-Verteilung zum Anfangszeitpunkt und eine Übergangsmatrix gegeben hat und daraus kann man alle späteren Wkt-Verteilungen errechnen. Mach ich es beim Berechnen des Erwartungswertes auch so mit Matrizen?
28.01.2010, 17:58	Royal Tomek	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, du musst einfach nur dort weiterrechnen, wo ich aufgehört habe.
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28.01.2010, 18:54	Linker	Auf diesen Beitrag antworten »
Was bedeutet eigentlich $\begin{eqnarray} \mathbb E (X\|A) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb E (X\|B) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb E \end{eqnarray}$ und wie rechne ich damit?
28.01.2010, 21:41	Royal Tomek	Auf diesen Beitrag antworten »
Du wirst doch wissen, was der Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist? Den suchst du nämlich. Und Ausdrücke wie $\begin{eqnarray} \mathbb{E}[X\|B] \end{eqnarray}$ stehen für den elementaren bedingten Erwartungswert. Es gilt also $\begin{eqnarray} \mathbb{E}[X\|B]=\frac{\mathbb{E}[X\mathbb{I}_B]}{P(B)} \end{eqnarray}$
29.01.2010, 10:49	Linker	Auf diesen Beitrag antworten »
Also rechne ich so: $\begin{eqnarray} \mathbb E (X\|B) = (1-q)(\mathbb E (X) + 1) + q \mathbb E (X\|C) \end{eqnarray}$ Anschließend noch: $\begin{eqnarray} \mathbb E (X\|C) = (1-q)(\mathbb E (X) + 1) + q \mathbb E (X\|D) \end{eqnarray}$ Und wenn E(X\|D) = E(X) gilt, dann erhalte ich nach Umformung, die ich hier nicht nachzufragen brauche, den gesuchen Erwartungswert. Habe ich alles richtig gemacht?
29.01.2010, 10:52	Linker	Auf diesen Beitrag antworten »
Upps, P(X\|D) ist doch gleich null, denn die Schritte von D nach D zu kommen ist doch 0.
31.01.2010, 12:06	Royal Tomek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz passt es noch nicht, brauchst das Bsp noch?

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