Umkehrfunktion von Polynomen?

15.10.2006, 16:56

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Umkehrfunktion von Polynomen?

Hi @all,
wir beschäftigen uns in der Schule zur Zeit mit Volumenberechnungen mittels Integralen. Hierzu muss ich ja jeweils die Umkehrfunktion bilden. Bisher haben wir nur einfache Funktionen untersucht, aber wie würde ich denn eine Umkehrfunktion von komplexeren Funktonen, wie
x²-2x+4 bilden? Muss ich hier den term zerlegen in zwei unterschiedliche Funktionen und dann wieder zusammenstückeln?
Würden mit Nullstellen weiter helfen?
Ich habe absolut keine ahnung.
Hoffe auf eure Tipps.
Grüße
GoTo

15.10.2006, 16:58

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von GoTo
Hierzu muss ich ja jeweils die Umkehrfunktion bilden.

Woher hast du das denn? Das ist falsch, solange die Aufgabenstellung nicht etwas außergewöhnlich ist. Bring mal ein Beispiel einer Aufgabe!

Gruß MSS

15.10.2006, 17:53

Frooke

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Vermutlich gehts um Rotationskörper (Rotation um die y-Achse)...

Bei quadratischen Funktionen hilft partielles Umkehren. Je nach Aufgabenstellung wird dann eben der eine oder andere Funktionsast benötigt...

Beispiel für die kanonische Parabel: Zerlege $\begin{eqnarray*} f(x):=x^2 \end{eqnarray*}$ in die Teilfunktionen $\begin{eqnarray*} f_1(x):=x^2,x>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_2(x):=x^2,x\leq 0 \end{eqnarray*}$

Dann lauten die Umkehrfunktionen $\begin{eqnarray*} f^{-1}_1(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_2^{-1}(x)=-\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ .

15.10.2006, 19:15

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Ups, sorry, wenn ich mich nicht eindeutig ausgedrückt habe. Es geht um Rotationskörper, speziel um die y-Achse.

@Frooke
das mit der normal Parabel f(x)=x² ist ja noch relativ einfach. aber der allgemeinen Formel für die Volumenberechnung eines Rotationskörpers lautet ja wie folgt (so habe ich sie kennen gelernt):

$\begin{eqnarray*} V(x)=\pi *\int_{a}^{b}~f(x)^{-1}~dx \end{eqnarray*}$

Das bedeutet, dass ich die Umkehrfunktion der Funktionn benötige. Bei x² wäre die eben die Wurzelfunktion.

Aber wie wäre es bei einem Funktion höheren Grades, mit mehreren x?

15.10.2006, 19:22

Mathespezialschüler

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Zunächst mal ist die Formel falsch! $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ hängt nicht von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ab und da fehlt ein Quadrat. Richtig ist es so:

$\begin{eqnarray*} V=\pi\cdot \int_a^b~\left(f^{(-1)}(x)\right)^2~\mathrm dx \end{eqnarray*}$ .

Zur Frage: Da das Berechnen der (abschnittsweisen) Umkehrfunktion in Fällen höherer Polynome viel zu kompliziert bzw. teilwweise gar nicht möglich ist, wirst du solch eine Aufgabe nie bekommen ...

Gruß MSS

15.10.2006, 19:34

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okay, dann hat sich meine Frage erledigt Augenzwinkern

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