Zufallsvariable größer als maximum anderer ZV

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Herschel Auf diesen Beitrag antworten »
Zufallsvariable größer als maximum anderer ZV
Hallo,

ich sitzt hier an einer Aufgabe die mir nicht klar ist:

Seien

iid und normalverteilt
normalverteilt mit
und unabhängig

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Y größer ist als jedes Xi.

Ich bin mir hier nicht mal beim Ansatz sicher: Muss man hier mit bedingten Wahrscheinlichkeiten ran?

Zuersteinmal kümmere ich mich um die Xi. Scheinbar ist hier die Verteilung von von Bedeutung.

(weil unabhängig) , also

Ist das erstmal so richtig?

Aber was ist jetzt hier in der Aufgabe gesucht?

oder oder oder (wobei das letztere wohl nicht berechenbar ist?

Danke im voraus an alle Helfer
Lord Pünktchen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zufallsvariable größer als maximum anderer ZV
warum sollte letzteres nicht berechenbar sein?



benutze die unabhängigkeit und sollte doch berechenbar sein, oder?
 
 
Herschel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zufallsvariable größer als maximum anderer ZV
weil selbst eine Zufallsvariable ist. Dann würde man ja die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass die Zufallsvariable größer ist als die Zufallsvariable . Dann hätte man eine Lösung wie "Die Wahrscheinlichkeit, dass die Wahrscheinlichkeit dass kleiner t ist ist so und so viel".
Herschel Auf diesen Beitrag antworten »

kann dazu keiner was sagen?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Die Verteilungsfunktion des Maximums unabhängiger Zufallsgrößen zu berechnen, ist einfach:

,

was im vorliegenden Fall wegen sofort zu



führt, dabei kennzeichnet wie üblich die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Bleibt noch zu berechnen



und die Verteilung von kriegt man über das übliche Faltungsintegral heraus.
Herschel Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Arthur,

ist meine Berechnung oben für die Verteilungsfunktion für nicht äquivalent zu der die du vorgenommen hast (außer, dass ich nicht für eingesetzt habe.

Dass gilt, hätte man wirklich sehen müssen. Ich werd mich dann mal über Faltungsintegrale belesen.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Herschel
ist meine Berechnung oben für die Verteilungsfunktion für nicht äquivalent zu der die du vorgenommen hast (außer, dass ich nicht für eingesetzt habe.

Ja, ist richtig. Ich hatte mich auf deine letzten Zeilen konzentriert und das da gar nicht so richtig gesehen - entschuldige! Hammer
Royal Tomek Auf diesen Beitrag antworten »

Die Verteilungsfunktion vom Maximum zu berechnen ist aber wirklich reine Fleißaufgabe und nicht notwendig, um das Bsp zu lösen. Da die iid sind, gilt einfach , wie eh schon angemerkt wurde.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, da irrst du dich gewaltig, so geht es nicht. unglücklich

Die dazu benötigte Unabhängigkeit der Zufallsgrößen untereinander ist NICHT erfüllt.


Rechne das ganze mal z.B. für das simple Beispiel dreier Münzwürfe aus (0=Kopf,1=Zahl). Dann ist

, analog

aber

.
Royal Tomek Auf diesen Beitrag antworten »

Schönes Gegenbeispiel, hab auch gerade eingesehen, dass ich Mist erzählt hab und hätte mir ein Bsp mit mit 3 unabhängigen Gleichverteilungen auf (0,1) überlegt.

Sorry für die gestiftete Verwirrung. Aber zumindest zeigt das Bsp, wie sehr man aufpassen muss beim Thema Unabhängigkeit.
Herschel Auf diesen Beitrag antworten »

Arthur,

ich bekomme es nicht hin. Da gibt es zuvieles was ich nicht weiss. Ich möchte das hier benutzen:



Nach dem Auflösen des inneren Integralsergibt das:



Da bin ich auch schon mit meinem Latain am Ende. Ich wüsste auch nicht wie die Verteilungsfuntion der Standardnormalverteilung zu integrieren ist. Bitte um weitere Hilfe und Klarifikation. Tausend Dank!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Tatsächlich entsteht da ein ziemlich schreckliches Integral mit einem Integranden unter Einbeziehung von und (der zugehörigen Dichtefunktion). Ich hoffe mal nicht, dass auch der Aufgabensteller auf dem Irrweg von Lord Pünktchen & Royal Tomek ist und sich die Sache viel leichter gedacht hat, als sie sich letztendlich erweist. Augenzwinkern
Herschel Auf diesen Beitrag antworten »

Ist mein Integral denn erst mal so korrekt? Und nein, mir war von Anfang an klar, dass das schwer zu lösen sein würde. Würdest du sagen, es ist hier sogar besser eine kleine Simulation zu schreiben statt das Integral zu berechnen
Herschel Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn das Integral so stimmt wäre die erste Frage die sich mir stellt: Kann man das noch weiter "allgemein auflösen" oder sollte man hier schon die entsprechenden Ausdrücke für die Verteilungs und Dichtefunktion einsetzten?
Herschel Auf diesen Beitrag antworten »

Kann dazu niemand mehr etwas sagen?
Herschel Auf diesen Beitrag antworten »

Habe ich hier jemanden beleidigt oder warum antwortet keiner mehr? traurig
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst den Leuten auch mal ein Wochenende ohne Matheboard gönnen. Augenzwinkern

Viel weiter als bis zum Einsetzen habe ich bisher auch nicht gedacht:

,

wobei bzw. die Dichte- bzw. Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung darstellen. Ok, jetzt könnte man z.B. substituieren, dann bekommt man speziell für Argument zur Darstellung

,

mit . Aber wie man das jetzt auflöst - wenn es denn überhaupt ohne Numerik geht - darüber habe ich mir noch keine Gedanken gemacht.


Lediglich im Spezialfall liegt die Lösung direkt auf der Hand

,

aber das ist auch ohne jede Rechnerei klar, wenn man sich die Grundsituation im Fall mal genau durchdenkt. Augenzwinkern
Herschel Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Wochenende ohne Matheboard? Bei deinen 21700 Beiträgen ging die Wahrscheinlichkeit dafür doch gegen Null Augenzwinkern

Danke für die weiteren Ideen. Das Problem ist jetzt wohl die Integration der Dichte der Normalverteilung mit diesem "störenden" lambda, nicht? Kann man das vielleicht noch mit Fehlerfunktionen weiter bearbeiten?
Herschel Auf diesen Beitrag antworten »

Eine andere Idee, die mir so durch den Kopf geschossen ist: Vielleicht kann man ja statt der Normalverteilung einfach eine andere Verteilung nehmen, die für große n gegen die Normalverteilung geht und dessen Verteilungsfunktion einfach zu integrieren ist?
Herschel Auf diesen Beitrag antworten »

scheinbar hab ich hier ja die schwierigste Frage aller Zeiten gestellt. Wink
Herschel Auf diesen Beitrag antworten »

und wieder nach vorne mit dem thread Wink
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Herschel
und wieder nach vorne mit dem thread Wink

Und weshalb? Mag ja sein, dass dir die Ergebnisdarstellung



nicht so recht gefällt (mir übrigens auch nicht), aber es sieht ganz danach aus, als würde hier keinem eine wesentliche Vereinfachung einfallen. Du könntest immerhin in den sauren Apfel beißen, das numerisch auszurechnen, jeweils für konkrete und .
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