Stetigkeit, Differenzierbarkeit und stetige Differenzierbarkeit

28.01.2010, 13:46	Demon153	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit, Differenzierbarkeit und stetige Differenzierbarkeit Ich soll für n=1,2 die durch $\begin{eqnarray} f_{n}(x)=x^{n}\sin(1/x) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\neq 0 \end{eqnarray}$ und 0 für x=0 gegebene Funktion auf Stetigkeit, Differenzierbarkeit und stetige Differenzierbarkeit(Ableitung ist wieder stetig) untersuchen. Zur Stetigkeit kann ich ja nur das epsilon-delta-kriterium anwenden, richtig? Die Ableitung von f1 sollte lauten: $\begin{eqnarray} f_{1}'=(1-1/x)\sin(1/x) \end{eqnarray}$ und für f2: $\begin{eqnarray} f_{2}'=(2x-1)\sin(1/x) \end{eqnarray}$ Die sollten doch richtig sein, oder? Wie sieht es jetz aus mit der Differenzierbarkeit, also wie zeigt man, das eine Funktion differenzierbar ist?
28.01.2010, 15:05	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Du könntest den Satz nutzen, dass Verkettungen stetiger Funktionen wieder stetig sind. Für die Differenzierbarkeit gilt Analoges. Darüber habe ich mich auch schon hier ausgelassen. Deine Ableitungen sind falsch. Was meint denn die Kettenregel dazu?
28.01.2010, 17:32	Demon153	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f_{1} = x\sin(1/x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{1}' = 1\sin(1/x) + x\cos(1/x) \left(- 1/x^{2} \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{1}' = \sin(1/x) - \left(1/x\right) \cos(1/x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{2} = x^2\sin(1/x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{2}' = 2x\sin(1/x) + x^2\cos(1/x) \left(- 1/x^{2} \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{2}' = 2x\sin(1/x) - \left(1\right) \cos(1/x) \end{eqnarray}$ So, das müsste aber richtig seien, oder?
28.01.2010, 17:36	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist OK.
28.01.2010, 17:38	Demon153	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann man die noch umformen oder vereinfachen?
28.01.2010, 17:40	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde sie lassen.
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28.01.2010, 17:47	Demon153	Auf diesen Beitrag antworten »
okay alles klar, den rest schaff ich alleine. vielen dank

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