Grenzwert+Differenzierbarkeit

28.01.2010, 14:03	unimuenchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert+Differenzierbarkeit hallo ich soll zeigen dass bei der funktion f im abgeschlossenen Intervall [a,b] in $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ (differenzierbar) mit a< $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ < b der Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{f(\xi+h)-f(\xi-h)}{2h} = f'(\xi) \end{eqnarray}$ existiert. Nun meine Überlegungen: Sei $\begin{eqnarray} h\neq 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x= \xi+h \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_{0} = \xi-h \end{eqnarray}$ nun folgt Grenzübergang nach h: $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{f(\xi+h)-f(\xi-h)}{(\xi+h)-(\xi-h)} = \lim_{h \to 0} \frac{f(\xi+h)-f(\xi-h)}{2h} \end{eqnarray}$ Kann ich das schonmal so sagen??? Und da h nunmal ganz klein ist und gegen 0 geht, kann ich sagen dass der Grenzwert den Wert $\begin{eqnarray} f'(\xi) \end{eqnarray}$ hat????
28.01.2010, 14:54	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Umformung ist OK, aber deine Argumentation ist zu wackelig. Da $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ differenzierbar ist, gibt es zwei in $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ stetige Funktionen $\begin{eqnarray} r_1,r_2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(\xi+h)=f(\xi)+hf'(\xi)+r_1(h) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(\xi-h)=f(\xi)-hf'(\xi)+r_2(-h) \end{eqnarray}$ und weiter gilt $\begin{eqnarray} \lim_{h\to0}\frac{r_1(h)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{r_2(-h)}{h}=? \end{eqnarray}$ .
28.01.2010, 15:36	unimuenchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt da die beiden Funktionen stetig sind, weil der Punkt Xi differenzierbar ist, kann ich dann sagen dass: $\begin{eqnarray} \lim_{h\to0}\frac{r_1(h)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{r_2(-h)}{h}=0 \end{eqnarray}$ Das h ist dann praktisch wie eine konstante c die hier dann auch 0 ist und deshalb darf ich gleich sagen: $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{f(\xi+h)-f(\xi-h)}{2h} = f'(\xi) \end{eqnarray}$ Stimmt das so???
28.01.2010, 15:58	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ ist alles andere als eine Konstante. Setze doch die Ausdrücke von $\begin{eqnarray} f(\xi+h) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(\xi-h) \end{eqnarray}$ mal in deine Behauptung ein und nutze die Stetigkeit um das Limes-Symbol zu verschieben.
28.01.2010, 16:14	unimuenchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Sry ich bin leicht verwirrt. Wenn ich r1 und r2 ersetze: $\begin{eqnarray} \lim_{h\to0}\frac{f(\xi)+hf'(\xi)-f(\xi+h)}{h}=??? \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \lim_{h\to0}\frac{f(\xi)-hf'(\xi)-f(\xi-h)}{h}=??? \end{eqnarray}$ . weiter komme ich leider wieder nicht
28.01.2010, 17:38	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst es in den Bruch deiner Behauptung einsetzen: $\begin{eqnarray} \frac{f(\xi+h)-f(\xi-h)}{2h}=\frac{f(\xi)+hf'(\xi)+r_1(h)-(f(\xi)-hf'(\xi)+r_2(-h))}{2h}=... \end{eqnarray}$ . Dann $\begin{eqnarray} h\to0 \end{eqnarray}$ .
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