Anfangsnäherung fürs Newton-Verfahren

28.01.2010, 15:28	yb	Auf diesen Beitrag antworten »
Anfangsnäherung fürs Newton-Verfahren Hallo, ich hätte mal eine Frgae zum Newton-Verfahren. Das Newton-Verfahren konvergiert nur lokal. Deswegen ist es ja wichtig, eine gute Anfangsnäherung füe eine Nullstelle zu finden. Ich weiß jetzt leider nicht, wie ich einen guten Startwert finden kann. Außerdem habe ich herausgefunden, dass das schwierig sein soll, falls die Norm der Inversen von der Jacobi-Matrix ziemlich groß ist. Und ich habe mich gefragt, wieso denn das so ist!?! Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen. Gruß yb
28.01.2010, 23:20	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangsnäherung fürs Newton-Verfahren Naja, soweit ich weiß, gibt es für das Finden eines Startwertes kein "Rezept". Das sinnvollste ist wohl, man schaut sich den Graphen der Funktion an (wenn möglich, im R^n wird's schwierig) und bestimmt DORT einen geeigneten Startwert. Insbesondere also Problemstellung und Einbettung (z.B. geben dir physikalische Probleme Ideen über die Lage der Lösung) betrachten. Eine andere Methode (skalarer Fall) wäre, zunächst mit anderen Verfahren vorzuarbeiten. Z.B. könntest du (eine) Nullstelle mittels Bisektion erst einmal eingrenzen und dann ab einer bestimmten Intervalllänge zum schneller konvergierenden Newton-Verfahren wechseln. Ansonsten gibt es auch etwas schwierigerer Verfahren. Suche zum Beispiel nach den Begriffen Homotropieverfahren, wo der Startwert in einem künstlich erstellten, einfacheren System gesucht wird, oder gedämpftes Newton-Verfahen was die Konvergenz des Verfahrens in gewissem Sinne globalisiert. Zur Schwierigkeit der Norm der Inversen: Ich weiß nicht, wie genau ihr das Newton-Verfahren definiert habt. Aber bei uns gab's folgende Voraussetzung: Konvexer, offener Bereich $\begin{eqnarray} \Omega\subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x,y\in\Omega \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f: \Omega\to \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ stetig diffbar mit invbarer Jacobimatrix. $\begin{eqnarray} \\|(Df(x))^(-1)\\|\leq \beta \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \\|Df(x)-Df(y)\\|\leq \gamma \\|x-y\\| \end{eqnarray}$ Dann muss für garantierte Konvergenz der Startwert in einem Teilbereich von $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ mit Radius $\begin{eqnarray} \omega\leq\frac{2}{\beta\gamma} \end{eqnarray}$ liegen. Du erkennst: Große $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ zwingen dich zu einem besseren Startwert. Gruß MI
29.01.2010, 15:18	yb	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangsnäherung fürs Newton-Verfahren Danke, du hast mir sehr weitergeholfen. Das mit dem gedämpften Newton-Verfahren habe ich mir ebenfalls überlegt gehabt. Ich war mir halt nicht sicher, ob soweit richtig ist. Den Satz mit der Norm der Inversen hab ich auch mittlerweile gefunden . Gruß yb

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »