irreale zahl element R

28.01.2010, 18:09

Empire-Phoenix

irreale zahl element R

Ich habe gegeben

(1+i)^2010
und soll zeigen ob dieses Element von R ist.

die Idee ich schreibe das getrennt:
1^2010 + i^2010
= 1 + i^2010 (da bekannt ist -1 = i^2)
= 1 + i^2*1^1005
= 1 + -1^1005
= 1 + -1
= 0
damit element von R

Meine frage ist jetzt, ob/wo ich Rechenfehler habe und ob es überhaupt Sinn gibt was ich versuche.

28.01.2010, 18:11

Anatol

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RE: irreale zahl element R

Zitat:

1^2010 + i^2010

quatsch!

28.01.2010, 18:12

Empire-Phoenix

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erm, gut und wie dann?

28.01.2010, 18:13

Iorek

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Nach deiner Rechnung wäre dann auch $\begin{eqnarray*} (a+b)^2=a^2+b^2 \end{eqnarray*}$ ?

28.01.2010, 18:14

Anatol

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(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
dann sollst du ^3, ^4 rechnen
irgendwann wird es klar, wie es weiterläuft

28.01.2010, 18:23

Cordovan

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Besser: bringe 1+i in Polarkoordinaten.

Cordovan

28.01.2010, 18:33

Empire-Phoenix

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(a+b)^3
(a+b)(a+b)(a+b)
(a^2+2ab+b^2)(a+b)
a^3+2a^2*b+a*b^2+b*a^2+2a*b^2+b^3
a^3+b^3+3*a*b^2+3*a^2*b

wenn ich mich nicht vertan habe (allgemein ist das erheblich schlimmer als mit konkreten werten)
ist das soweit erstmal richtig?

28.01.2010, 18:39

Empire-Phoenix

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Und der Polarkoordianten ansatz also

(R,i)
(1,1)^2010
bzw in andere darstellung dann:
45° und r = sqrt(1^2+1^2) = sqrt(2)

Bin mir bei beiden allerdings gerade nicht wirklich sicher wie ich da sinnvoll weiterarbeiten kann :/
(Versteht mich nicht falsch, ich versuche gerade nicht mir Lösungen zu erschnorren für ein Übungsblatt oder so, ich denke nur das es besser wäre wenn ich das bis zur Klausur verstehe :/)

28.01.2010, 18:57

Leopold

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Im Unterschied zu Cordovan empfehle ich hier keine Polarkoordinaten. Rechne doch einfach einmal zunächst

$\begin{eqnarray*} (1 + \operatorname{i})^2 \end{eqnarray*}$

dann

$\begin{eqnarray*} (1 + \operatorname{i})^4 = \left( (1 + \operatorname{i})^2 \right)^2 \end{eqnarray*}$

aus. Du wirst sehr schnell sehen, was dir das bringt.

Und dann dividiere 2010 durch 4 mit Rest, schreibe also

$\begin{eqnarray*} 2010 = 4 \cdot n + r \ \ \text{mit ganzen Zahlen} \ n,r \ \text{und} \ 0 \leq r < 4 \end{eqnarray*}$

Verwende dann Potenzgesetze. Letztlich ist die Rechnung ein Einzeiler.

Und noch etwas: Der Begriff "irreale Zahl" existiert nicht.

28.01.2010, 19:14

Cordovan

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Mit Polarkoordinaten meine ich $\begin{eqnarray*} (1+i)^n=(\sqrt2)^n\cdot\exp(in\varphi) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \varphi=\pi/4 \end{eqnarray*}$ den Winkel von (1+i) bezeichnet. Mann muss also, um herauszufinden, ob (1+i) in R liegt, nur testen, ob $\begin{eqnarray*} n\cdot\varphi\in \pi\mathbb Z \end{eqnarray*}$ liegt.

Cordovan

28.01.2010, 20:04

Empire-Phoenix

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Hm tut mir leid ich kapiers echt nicht.
Vermutlich muss ich erstmal die Basis dazu wiederholen, also die potenzgesetze so wies aussieht.
Zumindest kann ich Leopold Ansatz ab hier ("Du wirst sehr schnell sehen, was dir das bringt.
Und dann dividiere 2010 durch 4 mit Rest, schreibe also") icht mehr nachvollziehen,
bei Cordovan verstehe ich nicht was er mit exp meint.

28.01.2010, 20:08

Cordovan

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exp ist die Exponentialabbildung, $\begin{eqnarray*} x\mapsto e^x \end{eqnarray*}$ .

Cordovan

28.01.2010, 20:41

Kühlkiste

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Vergiss hier mal die Polarkoordinaten.
Einfacher und elementarer als mit Leopold's Ansatz wirst Du hier nicht zum Ziel kommen.

Fang doch einfach mal an zu rechnen:

$\begin{eqnarray*} (1+i )^2 = \ldots \end{eqnarray*}$

und damit dann:

$\begin{eqnarray*} ( 1+i )^4=( (1+i )^2 )^2 = \cdots \end{eqnarray*}$

Und schließlich:

$\begin{eqnarray*} (1+i)^{2010}=((1+i)^4)^{502}(1+i)^2=\ldots \end{eqnarray*}$

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