Bijektion von A auf B

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28.01.2010, 18:11	migrosch	Auf diesen Beitrag antworten »
Bijektion von A auf B aufgabe: geben sie eine Bijektion von A = 4N+1 auf B= 7N+3 an Hinweis: aN+b={ak+b : k € N} einen richtigen Ansatz habe ich leider nicht. ich würde vielleicht A nach N umstellen, dann N in B einsetzen. was ich aber damit bezwecken will, kann ich leider nicht sagen vielleicht kann mir einer von euch einen hinweis geben
28.01.2010, 18:14	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gibt es eine einfachere Abbildung als die Identität ? Wie wäre es mit der Identität auf N ?
28.01.2010, 18:18	migrosch	Auf diesen Beitrag antworten »
hmmm hab mal meine Idee weitergesponnen: wenn ich die von mir oben beschriebenen Schritte durchführe, komme ich auf: B =(7/4)A + 5/4 da es aber natürliche Zahlen sein sollen: 4B=7A+5 könnte sie eine Bijektion der beiden Mengen sein?
28.01.2010, 18:25	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Vergiss das mit den natürlichen Zahlen. Nimm ein x aus A, berechne das Bild in B. Wunder über Wunder ... wie unterscheiden sich unsere beiden Bijektionen ?
28.01.2010, 18:29	migrosch	Auf diesen Beitrag antworten »
tut mir echt leid, aber ich weiß einfach nicht weiter. du schreibst, ich soll die natürlichen zahlen vergessen, dabei geht es bei dieser aufgabe um nat. zahlen. ich weiß nicht wie ich das bild in b berechne!...wenn ich das wüsste, dann würde ich sicherlich nicht hier fragen ich nehme an meine lösung ist falsch.
28.01.2010, 18:30	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, deine Lösung ist richtig. Deine Lösung heißt B=(7/4)A+5/4 . Du musst nur noch wissen, was das heißt.
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28.01.2010, 18:34	migrosch	Auf diesen Beitrag antworten »
das freut mich. nur gerade am verstehen der lösung scheitert es anscheinend. jedes Element der Menge A wird einem Element der Menge B zugeordnet. mit der gleichung kann ich nun sagen, welches element von a auf welches von b trifft, oder?
28.01.2010, 18:37	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm ein x aus A, dann ist x=4k+1. Deine Abbildungsvorschrift heißt B=(7/4)A+5/4, das heißt, das Bild von x ist y=(7/4)x+5/4 = ...
28.01.2010, 18:40	migrosch	Auf diesen Beitrag antworten »
genau das meinte ich...hab mich wohl etwas "dümmlich" bei der beantwortung ausgedrückt. super! ich denke ich hab's verstanden. danke für deine mühe
28.01.2010, 18:41	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
... und was kommt raus ? ... und warum habe ich von der Identität auf N gesprochen ?
29.01.2010, 10:36	migrosch	Auf diesen Beitrag antworten »
tut mir leid wegen der verspäteten antwort auf deine letztere frage. da A= 4N+1 und B=(7/4)A + 5/4 definiert ist, kommt als ergebnis dieser beiden gleichungen immer eine natürliche zahl raus, egal welche natürliche zahl man einsetzt! somit wird jedem element aus A eins aus B zugeordnet. A wurde damit auf B abgebildet. warum du von der identität auf N gesprochen hast, kann ich leider nicht sagen. vielleicht soviel: die elemente aus A sind alles natürliche Zahlen, genau wie die aus B Die bildungsvorschriften der elemente aus A und der aus B beschreiben die entstehung dieser zahlen. somit ist es möglich allen elementen die in A vorhanden sind, ebenfalls elemente aus B zuzuordnen.
29.01.2010, 16:17	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch genauer und einfacher ist für x=4k+1 aus A : f(x)=f(4k+1)=(7/4)(4k+1)+5/4=7k+7/4+5/4=7k+12/4=7k+3=y aus B . Diese Bijektion f erhält man dadurch, dass man k auf k abbildet (Identität auf N). Man sagt, f wird durch die Identität induziert.
29.01.2010, 20:20	migrosch	Auf diesen Beitrag antworten »
ehrlich gesagt finde ich diese möglichkeit schwieriger als meinen lösungsweg...diesen habe ich verstanden. bei deinem letzten post versteh ich nicht ganz, wie du auf f(x)=f(4k+1)=(7/4)(4k+1)+5/4 kommst! also f(x)= f(4k+1) versteh ich ja, aber wie kommst du einfach so auf (7/4)(4k+1)+5/4 ?????
30.01.2010, 14:40	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist Deine Definition. B=(7/4)A+5/4 heißt : für jedes x in A sei y in B definiert durch y=f(x)=7/4x+5/4 . Das ist die Abbildungsvorschrift mit der f:A-->B festgelegt wird. Was sonst soll denn eine Rechenvorschrift mit Multiplikation und Addition bedeuten, in der Mengen A und B auftreten ?

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