Komplexe Nullstellen eines Polynoms

28.01.2010, 19:53	eey	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Nullstellen eines Polynoms Hallo zusammen, ich hänge an folgender Aufgabe: 2.) Gegeben sei das reelle Polynom $\begin{eqnarray} p(x)=x^5-12x^4+25x^3-50x^2 \end{eqnarray}$ (a) Zeigen Sie durch nachrechnen, dass $\begin{eqnarray} b_1=1+j2 \end{eqnarray}$ eine komplexe Nullstelle von p ist. (b) Bestimmen Sie alle Nullstellen von p. (c) Geben Sie die reelle Polynomzerlegung von p in Linearfaktoren und quadratisch unzerlegbare Terme an. Ok, die erste ist ja noch einfach... zu (a): Hab ich halt einfach eingesetzt und ausgerechnet, gut kein Problem, kommt Null raus. Passt also. zu (b): Ja, hier fängt das Problem dann langsam an... Also ich kann ja x^2 ausklammern, damit sind zwei Nullstellen schonmal bei x=0. Eine Nullstelle hab ich ja schon gegeben, nämlich $\begin{eqnarray} b_1=1+j2 \end{eqnarray}$ . Weil ich weiß, dass komplexe Nullstellen bei Polynomen immer nur konjugiert auftreten, weiß ich auch gleich die vierte Nullstelle, nämlich $\begin{eqnarray} b_2=1-j2 \end{eqnarray}$ . Somit hab ich bis jetzt: $\begin{eqnarray} b_1=1+j2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_2=1-j2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_3=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_4=0 \end{eqnarray}$ Leider fehlt mir noch die letzt Nullstelle, die ja reell sein muss. Um die zu bekommen müsste ich ja vermutlich Polynomdivision machen, aber irgendwie krieg ich dass im komplexen nicht hin. Gibts da irgendwas, was man besonders beachten muss bei komplexer Polynomdivision? Oder kann man die letzte (reelle) Nullstelle auch irgendwie anders rauskriegen?Weil dann könnte man sich die komplexe Polynomdivision sparen...
28.01.2010, 20:12	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast schonmal gesagt, dass du $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ ausklammern kannst, bleibt also $\begin{eqnarray} p_1(x)=x^3-12x^2+25x-50 \end{eqnarray}$ übrig. Nun hast du auch noch die beiden konjugiert-komplexen Nullstellen gefunden. Diese verursachen ein quadratisches Polynom q, welches $\begin{eqnarray} p_1 \end{eqnarray}$ teilt. Wie kriegst du das quadratische Polynom? $\begin{eqnarray} q(x)=(x-b_1)(x-b_2)=? \end{eqnarray}$
28.01.2010, 20:34	eey	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh mann, klar Da hab ich die Lösung schon vor Augen und checks nicht Also mein quadratisches Polynom ist nach ausmultiplizieren: $\begin{eqnarray} q(x)=x^2-2x+5 \end{eqnarray}$ Nach Polynomdivision bleibt dann noch: $\begin{eqnarray} x-10 \end{eqnarray}$ übrig. Meine 5 Nullstellen sind also: $\begin{eqnarray} b_1=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_2=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_3=10 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_4=1+j2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_5=1-j2 \end{eqnarray}$ Und zur Aufgabe (c), die ist ja jetzt einfach also die reelle Zerlegung lautet dann: $\begin{eqnarray} p(x)=(x^2-2x+5) \cdot (x-10) \cdot (x) \cdot (x) \end{eqnarray}$ Vielen Dank auf jeden Fall für die schnell Hilfe

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