Schwieriges Integral

29.01.2010, 10:06

JackeWieHose

Schwieriges Integral

Liebe Freunde der Integralrechnung.

Folgendes Integral soll nur mittels Substitution berechenbar sein: $\begin{eqnarray*} \int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}~\dd x. \end{eqnarray*}$

So langsam fange ich an das zu bezweifeln.

Könnte mich also jemand, der da etwas mehr peilt, erleuchten?

29.01.2010, 10:20

auch mal da

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RE: Schwieriges Integral
Mir scheint ein Schreibfehler vorzuliegen!

29.01.2010, 10:41

JackeWieHose

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RE: Schwieriges Integral

Zitat:

Original von auch mal da
Mir scheint ein Schreibfehler vorzuliegen!

Ganz sicher nicht.

29.01.2010, 11:51

bernd

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RE: Schwieriges Integral
Kommt mir aber auch so vor, als müsste 1+x im Nenner stehen statt 1+x².

29.01.2010, 12:00

klarsoweit

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RE: Schwieriges Integral
Oder (1+x)² ?

29.01.2010, 12:04

Kühlkiste

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RE: Schwieriges Integral
Mit funktionentheoretischen Methoden (Residuensatz und seine Konsequenzen) kommt man auf:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}~\dd x=\frac{\pi \ln(2)}8. \end{eqnarray*}$

Allerdings sehe ich gerade nicht, wie dieses Resultat mit den Methoden der reellen Analysis (insbesondere der Substitution) ermittelt werden kann.
Es kann aber durchaus sein, dass das mit irgendwelchen schmutzigen Tricks funktioniert... verwirrt

29.01.2010, 13:55

LoWang

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RE: Schwieriges Integral
Mit der Substitution $\begin{eqnarray*} x=\tan\phi \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \frac{\ln(1+x)}{1+x^2} \, dx = \int_0^{\pi/4} \! \ln(1+tan\phi) \, d\phi \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} 1+\tan\phi=\frac{\sqrt{2}\sin(\phi+\pi/4)}{\cos\phi} \end{eqnarray*}$ ergibt sich daraus

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \frac{\ln(1+x)}{1+x^2} \, dx = \frac{\pi}{8}\ln2 +\int_0^{\pi/4} \! \ln\sin(\phi+\pi/4) \, d\phi - \int_0^{\pi/4} \! \ln\cos(\phi) \, d\phi \end{eqnarray*}$

Mit der Substitution $\begin{eqnarray*} \phi=\pi/4-\psi \end{eqnarray*}$ sieht man dann, daß die beiden letzten Integrale gleich sind und damit ergibt sich die Lösung von Kühlkiste (vgl. Fichtenholz 2, IX 314 Beispiel 5).

29.01.2010, 20:57

JackeWieHose

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RE: Schwieriges Integral
Es geht also auch ohne Funktionentheorie.

Vielen Dank dafür, da wär ich nie drauf gekommen.

Zuerst mit $\begin{eqnarray*} x=\tan(\phi) \end{eqnarray*}$ substituieren:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x^2} \dd x = \int_0^{\pi/4} \ln(1+\tan(\phi)) \dd \phi=\int_0^{\pi/4} \ln(\sin(\phi)+\cos(\phi))\dd \phi-\int_0^{\pi/4}\ln(\cos(\phi))\dd \phi \end{eqnarray*}$

Dann wird im letzen Integral auf der rechten Seite $\begin{eqnarray*} \phi=\frac{\pi}{4} - \psi \end{eqnarray*}$ substituiert:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi /4} \ln(\cos( \phi )) \dd \phi=\int_0^{\pi /4} \ln\left(\cos( \psi )\cos(\pi/4)+\sin(\psi)\sin(\pi/4)\right) \dd \psi\\=\int_0^{\pi /4} \ln(\cos( \psi )+\sin(\psi)) \dd \psi -\int_0^{\pi/4}\frac{\ln(2)}2\dd \psi \end{eqnarray*}$

Insgesamt gilt dann:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x^2} \dd x= \int_0^{\pi/4}\frac{\ln(2)}2\dd \psi =\frac{\pi\ln(2)}8 \end{eqnarray*}$

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