Teilbarkeit (durch 24 )der Differenz von quadrierten Primzahlen

29.01.2010, 13:50

balara

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Teilbarkeit (durch 24 )der Differenz von quadrierten Primzahlen

Moin Moin,

ich habe vor kurzem folgende Aufgabenstellung zur Bearbeitung bekommen:

Beweisen Sie: Sind p>3, q>3 Primzahlen, so ist $\begin{eqnarray*} p^2-q^2 \end{eqnarray*}$ durch 24 teilbar.

Ich habe inzwischen herausgefunden, dass die Teilbarkeit von 24 genau dann zutrifft, wenn die entsprechenden Zahlen bzw hier in diesem Fall eben die Differenz durch 8 und durch 3 teilbar sind.
Außerdem habe ich die Differenzregel entdeckt, die besagt, dass wenn zwei Zahlen durch eine Zahl x teilbar sind, dann ist auch die Differenz der beiden Zahlen durch x teilbar (hier also 24)

Kann man bei dem Beweis mit der vollständigen Induktion arbeiten oder geht das nicht, weil wir uns nur im Bereich der Primzahlen befinden?

Schon einmal vielen Dank im Voraus
balara

29.01.2010, 17:22

Elvis

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Tipp 1 : Differenz von 2 Quadraten schreit nach binomischer Formel.
Tipp 2 : Kongruenzrechnung mit Fallunterscheidung.

29.01.2010, 18:50

balara

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Danke für die beiden Tipps

zunächst also die Umformung der Differenz in die dritte binomische Formel - okay und wenn ich dann eine Fallunterschiedung mache, dann gibt es ja die drei Fälle:

1. Fall p=q bei dem als Ergebnis jeweils 0 rauskommen würde und dies ist durch 24 teilbar

2. Fall p>q da erhalte ich in der binomischen Formel ja so etwas, was insgesamt heißen würde positive Zahl * positive Zahl also insgesamt eine positive Zahl

im 3. Fall p<q erhalte ich im Endeffekt eine positive Zahl * negative Zahl also insgesamt eine negative Zahl

so weit müsste das doch stimmen, oder?
Mit welchen Beweisverfahren kann ich denn aber arbeiten - hättest du da vielleicht auch noch einen Tipp für mich?

30.01.2010, 10:50

balara

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Zitat:

Tipp 2 : Kongruenzrechnung mit Fallunterscheidung.

Ich glaub jetzt weiß ich, was du meinst

-> Ein Beweisverfahren mit modulo, oder?

Kommt denn hier auch der kleine Fermatsatz zum Tragen?

30.01.2010, 12:54

tmo

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Ob, p=q, p>q oder p<q gilt, ist für den Beweis egal.
Du hast ja jetzt $\begin{eqnarray*} p^2-q^2=(p-q)(p+q) \end{eqnarray*}$ und musst zeigen, dass dies durch 3 und durch 8 teilbar ist.

Erstmal zur 3:

Dann bentzt du folgende Fallunterscheidung:

3. $\begin{eqnarray*} p \equiv q \pmod 3 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} p \not\equiv q \pmod 3 \end{eqnarray*}$

Der erste Fall ist sehr einfach, beim Zweiten musst du etwas überlegen

30.01.2010, 15:07

Elvis

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Primzahlen p und q können modulo 3 nur zwei verschiedene Werte annehmen. Betrachte die Wertetafeln für p+q und p-q modulo 3.

Warum funktioniert genau dasselbe Verfahren für p und q modulo 4 ?

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31.01.2010, 10:32

balara

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erst einmal danke für eure Hinweise - allerdings stehe ich wohl irgendwie auf dem Schlauch...

also zunächst habe ich folgendes umgeformt:

$\begin{eqnarray*} <br /> p \equiv q (mod3)\\<br /> \Rightarrow 3| (p-q)\\<br /> \Rightarrow \exists k \in Z : p = q + 3k<br /> \end{eqnarray*}$

beziehungsweise das ganze eben für den zweiten Fall eben verneint...

Allerdings komme ich damit noch nicht wirklich weiter - auch dein Hinweis mit der Wertetafel hilft mir noch nicht ganz - meinst du damit eine Tabelle in der die Repräsentanten stehen...Das habe ich mal exemplarisch für die ersten Primzahlen gemacht und es kommt ja dabei stets so ewats raus wie $\begin{eqnarray*} 2\cdot 0 oder 3\cdot 0 \end{eqnarray*}$

Ich wäre euch dankbar, wenn ihr mir weiterhelfen könntet, da ich im Augenblick wirklich ein Brett vorm Kopf zu haben scheine

31.01.2010, 14:22

Elvis

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Mit Wertetafel meine ich z.B.

$\begin{eqnarray*} p\equiv 1 (3), q\equiv 1(3)\Rightarrow p+q \equiv -1(3),p-q\equiv 0(3) \end{eqnarray*}$

Das machst du nun für alle möglichen Werte mod 3 und mod 4 für p und q (das sind nicht viele Augenzwinkern

Augenzwinkern

) , und schon bist du fast fertig.

01.02.2010, 13:33

balara

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Danke für dein Beispiel - das hat mich auf jeden Fall schon ein Stück weitergebracht...
Allerdings würde mich interessieren, ob hier

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow p+q \equiv -1(3) \end{eqnarray*}$

nicht auch stehen könnte $\begin{eqnarray*} \Rightarrow p+q \equiv 2(3) \end{eqnarray*}$ ? müsste doch eigentlich äquivalent sein, oder?

Wenn dies der Fall ist, gibt es für modulo 3 und modulo 4 ja jeweils 4 Möglichkeiten, oder?

Hier mal meine bisherigen Ergebnisse für 3:
$\begin{eqnarray*} <br /> p\equiv 1(3) , q\equiv 1(3)\Rightarrow p+q\equiv 2(3), p- q\equiv 0(3)\\<br /> p\equiv 1(3) , q\equiv 2(3)\Rightarrow p+q\equiv 0(3), p- q\equiv 2(3)\\<br /> p\equiv 2(3) , q\equiv 1(3)\Rightarrow p+q\equiv 0(3), p- q\equiv 1(3)\\<br /> p\equiv 2(3) , q\equiv 2(3)\Rightarrow p+q\equiv 1(3), p- q\equiv 0(3)\\ \end{eqnarray*}$
und für 4 entsprechend:
$\begin{eqnarray*} <br /> p\equiv 1(4) , q\equiv 1(4)\Rightarrow p+q\equiv 2(4), p- q\equiv 0(4)\\<br /> p\equiv 1(4) , q\equiv 3(4)\Rightarrow p+q\equiv 0(4), p- q\equiv 2(4)\\<br /> p\equiv 3(4) , q\equiv 1(4)\Rightarrow p+q\equiv 0(4), p- q\equiv 2(4)\\<br /> p\equiv 3(4) , q\equiv 3(4)\Rightarrow p+q\equiv 2(4), p- q\equiv 0(4)\\ \end{eqnarray*}$

Soweit so gut, oder?
Daraus wird doch nun eigentlich schon ersichtlich, dass der gegebene Term durch 3 und 4 teilbar ist, oder?
Dazu fällt mir noch ein - hätte ich das obige Verfahren nicht an sich für modulo 8 machen müssen? Sicherlich, wenn eine Zahl durch 8 teilbar ist, dann ist sie auch automatisch durch 4 teilbar, aber reicht das um auf die Teilbarkeit durch 8 zurückzuschließen oder muss ich das gar nicht?

Danke für deine Hilfe

01.02.2010, 16:18

tmo

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Zitat:

Original von balara
Dazu fällt mir noch ein - hätte ich das obige Verfahren nicht an sich für modulo 8 machen müssen?

Du hast 2 Faktoren. Beide sind durch 2 teilbar. Und einer sogar durch 4. Damit ist ihr Produkt durch 8 teilbar.

01.02.2010, 16:23

AD

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Beiläufig bemerkt: Wenn man sich nicht allzu sehr in alle Kreuz- und Querkombinationen der Primzahlen p,q verstricken möchte, kann man auch gleich

Zitat:

(p²-1) ist durch 24 teilbar für alle Prmzahlen p>3. (*)

nachweisen, dann ist die vorliegende Behauptung eine Folgerung aus (*).

01.02.2010, 19:08

Elvis

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@balara
prima Freude

Freude

, danke

Mit Zunge

. Endlich macht mal jemand, was ich vorschlage und lernt auch noch was draus. Prost

Prost

03.02.2010, 18:46

balara

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Zitat:

Original von Elvis
Mit Wertetafel meine ich z.B.

$\begin{eqnarray*} p\equiv 1 (3), q\equiv 1(3)\Rightarrow p+q \equiv -1(3),p-q\equiv 0(3) \end{eqnarray*}$

Das machst du nun für alle möglichen Werte mod 3 und mod 4 für p und q (das sind nicht viele Augenzwinkern

Augenzwinkern

) , und schon bist du fast fertig.

So weit hab ich das ja nun alles dank deiner Hilfe hinbekommen, aber heißt das denn jetzt, dass ich das schon für alle p, q >3 gezeigt habe - fehlt da nicht noch irgendwas?
Du meintest ja auch, dass man dann "fast" fertig ist - wie kriege ich denn das "fast" noch weg verwirrt

verwirrt

03.02.2010, 19:02

Elvis

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Du bist fertig. Du hast gezeigt, dass einer der Faktoren immer durch 3 teilbar ist, dass einer der Faktoren immer durch 4 teilbar ist. Das "fast" bezog sich auf die 8. Das hat tmo erledigt - jedenfalls wenn dir klar ist dass p+q und p-q immer durch 2 teilbar ist - das sollte bei Primzahlen >3 kein Problem sein.

03.02.2010, 20:19

balara

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DANKE DANKE DANKE

du glaubst gar nicht wie sehr du mir geholfen hast - oder besser wie sehr IHR mir geholfen habt Gott

Gott

und das mit der 8 bzw 4 hab ich dann auch verstanden - dachte nur, du meinst noch was anderes...

Nochmals vielen vielen Dank!!! Tanzen

Tanzen

21.06.2010, 10:09

balara

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falls jemand noch einmal diese Aufgabe bearbeiten soll, dann ist der Hinweis wichtig, dass man die Beweisführung doch mit der modulo-Berechnung für 3 und für 8 machen muss!!! Zumindest ist das die Meinung meiner Dozentin, die mich hat durchfallen lassen, weil ich statt die Berechung mit 8, die beiden Berechungen mit 2 und 4 durchgeführt habe...

Der Rest ist aber in Ordnung gewesen

Ich hoffe, es hilft irgendwem

balara

21.06.2010, 10:28

AD

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Ja wenn man die gesamte Differenz betrachtet, dann muss man es modulo 8 machen, d.h. modulo 4 reicht nicht.

Betrachtet man aber die einzelnen Faktoren $\begin{eqnarray*} p+q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p-q \end{eqnarray*}$ und weist nach, dass stets einer der beiden durch 4 teilbar ist und der andere zumindest noch durch 2, dann ist das auch Ok. Es spricht also nichts gegen den Weg von tmo. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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