Lösung des Anfangswertproblem

15.10.2006, 18:45

vektorraum

Lösung des Anfangswertproblem

Hi!

Wir haben erst letzte Woche mit den Gewöhnlichen Differentialgleichungen angefangen. Zumindest hoffe ich, dass ich weiß, was eine Differentialgleichung ist. Wir haben aber eine Aufgabe, wo ich nicht so richtig weiterkomme:
Es seien $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N, x_0 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_0,y_1,...,y_{n-1} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gegeben. Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblemes

$\begin{eqnarray*} y^{(n)}(x)=x, y(x_0)=y_0, y'(x_0)=y_1,...,y^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1} \end{eqnarray*}$

Unsere zweite Aufgabe war mit einer konkreten Funktion an einer bestimmten Stelle gegeben. Da bin ich einfach von der höchsten Ableitung aus angefangen durch integrieren auf die Ursprungsfunktion gekommen. Hier ist es aber ja glaube ich anders. Wenn ich hier n-mal integrieren soll??? Das geht doch gar nicht? Ich glaube nur, dass unser Prof letzte Woche gesagt hat, dass solch ein AWP wie dies hier eindeutig lösbar sei. Aber wie komme ich dann drauf - ich wäre sehr dankbar für jeden Tipp Forum Kloppe

15.10.2006, 18:47

20_Cent

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ich habs mal in den Uni-Bereich verschoben. Hier kann dir bestimmt eher geholfen werden.
mfG 20

15.10.2006, 19:10

Mathespezialschüler

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Doch, im Prinzip integrierst du hier $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Mal. Das System dabei wird ja auch relativ einfach sein, da sich der Exponent immer um $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ vergrößert und durch ihn geteilt wird. Dann kommt natürlich noch die Konstante dazu. Du musst das einfach ein paar Mal machen und dann, wenn du eine Regelmäßigkeit erkannt hast, kannst du mit vollständiger Induktion deine Vermutung beweisen. Du integrierst einfach vorerst nur einmal:

$\begin{eqnarray*} y^{(n-1)}(x)=\frac{x^2}{2}+C_{n-1} \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du natürlich noch $\begin{eqnarray*} C_{n-1} \end{eqnarray*}$ bestimmen:

$\begin{eqnarray*} y^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1}=\frac{x_0^2}{2}+C_{n-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow C_{n-1}=y_{n-1}-\frac{x_0^2}{2} \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt kannst du

$\begin{eqnarray*} y^{(n-1)}(x)=\frac{x^2}{2}+C_{n-1} \end{eqnarray*}$

wieder integrieren und dann wiederholst du das Spielchen, bis du meinst, das Ergebnis zu sehen.

Gruß MSS

15.10.2006, 19:17

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@MSS: Vielen Dank - da war ja meine Idee doch nicht so falsch gewesen. Ich werd es nachher einfach mal ausprobieren, wenns nicht klappt, poste ich nochmal Augenzwinkern

Dankeschön!

16.10.2006, 11:10

vektorraum

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Guten Morgen Augenzwinkern

Ich hab mal den Tipp von MSS ausprobiert und versucht ein paar mal zu integrieren, damit ich irgendeine Vorschrift erkenne. Also, ich gehe von $\begin{eqnarray*} y^{(n-1)}(x)=\cfrac{1}{2}x^2+C_{n-1} \end{eqnarray*}$ aus...

Dann ist:

$\begin{eqnarray*} y^{(n-2)}=\int y^{(n-1)} dx=\int \cfrac{1}{2}x^2+C_{n-1} dx=\cfrac{1}{6}x^3+C_{n-1}x+C_{n-2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y^{(n-2)}(x_0)=y_{n-2}=\cfrac{1}{6}x_0^3+C_{n-1}x_0+C_{n-2}\Rightarrow C_{n-2}=y_{n-2}-\cfrac{1}{6}x_0^3-C_{n-1}x_0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y^{(n-2)}(x)=\cfrac{1}{6}x^3+C_{n-1}x+C_{n-2} \end{eqnarray*}$

Also ich habe jetzt erstmal erkannt, dass der erste Bruch die Fakultäten ab 2 enthält, also 2!=2, 3!=6, 4!=... Dann steigen dort auch die Exponenten immer um eins an. Die nachfolgenden ursprünglichen Konstanten werden ja dann auch immer weiter integriert. Nun aber mein Problem: Ich muss ja eigentlich n-(n-1)-mal integrieren??? Dann müsste ich doch auf die erste Ableitung von y kommen??? Wie finde ich denn dann eine Bildungsvorschrift für die C???
Dankeschön!

16.10.2006, 17:23

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} y^{(n)}(x)=\frac{1}{1!}x^1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^{(n-1)}(x)=\frac{1}{2!}x^2+C_{n-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^{(n-2)}(x)=\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{1!}C_{n-1}x+C_{n-2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^{(n-3)}(x)=\frac{1}{4!}x^4+\frac{1}{2!}C_{n-1}x^2+\frac{1}{1!}C_{n-2}x^1+C_{n-3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^{(n-4)}(x)=\frac{1}{5!}x^5+\frac{1}{3!}C_{n-1}x^3+\frac{1}{2!}C_{n-2}x^2+\frac{1}{1!}C_{n-3}x^1+C_{n-4} \end{eqnarray*}$

Erkennst du jetzt eine Regelmäßigkeit? Kannst du $\begin{eqnarray*} y^{(n-k)} \end{eqnarray*}$ für beliebiges $\begin{eqnarray*} k>0 \end{eqnarray*}$ aufschreiben? Die $\begin{eqnarray*} C_i \end{eqnarray*}$ 's kannst du dann nur über Rekursionsgleichungen berechnen. Ich weiß nicht, ob es dem Aufgabensteller reicht, diese Rekursionsgleichungen zu bekommen oder ob du die Konstanten in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_0,\ldots,y_{n-1} \end{eqnarray*}$ darstellen musst. Dann müsstest du natürlich auch hier $\begin{eqnarray*} C_{n-1},C_{n-2},C_{n-3} \end{eqnarray*}$ ausrechnen und dann eine Vermutung für die anderen aufstellen und diese dann beweisen.

Gruß MSS

17.10.2006, 19:36

vektorraum

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@MSS: Ja, die Regelmäßigkeit habe ich auch schon gesehen, und fast genauso auf meinem Zettel stehen. Das Problem war bloß, wie ich dann die Funktion rausbekommen soll. Ich brauche ja im Prinzip die "Nullte Ableitung", d.h. ich muss doch n-mal integrieren. Aber die erste Fakultät und der erste Exponent sind immer um ein höher, als die Ableitung. Ich hätte jetzt die Vermutung, dass die gesuchte Funktionsgleichung

$\begin{eqnarray*} y(x)=\cfrac{1}{(n+1)!}x^{n+1}+\cfrac{1}{(n-1)!}x^{n-1}+...+\cfrac{1}{2}c_2x^2+c_1x+c_0 \end{eqnarray*}$

lautet? Aber hier bin ich mir net sicher. Genau weiß ich es auch nicht, ob er die C's auch noch explizit angegeben haben will. Aber mir würde es erst schonmal reichen, wenn ich diese Form von oben hinbekomme.
Danke für deine Hilfe!

17.10.2006, 19:59

Mathespezialschüler

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Wenn du vor das $\begin{eqnarray*} x^{n+1} \end{eqnarray*}$ noch ein $\begin{eqnarray*} c_{n-1} \end{eqnarray*}$ schreibst, dann ist alles korrekt! Augenzwinkern

Gruß MSS

17.10.2006, 20:04

vektorraum

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Oh Mann, ich glaube ich brauch ne Brille - steht auf mein Blatt und ich tipps net mit ein Hammer

@MSS: Du meinst aber doch das $\begin{eqnarray*} c_{n-1} \end{eqnarray*}$ vor das $\begin{eqnarray*} x^{n-1} \end{eqnarray*}$ oder? Weil ich hab doch am Anfang jeweils die Gleider stehen, die nur aus dem Bruch mit der Fakultät und dem "wandernden" Exponenten bestehen, oder!?!?!?

17.10.2006, 20:30

Mathespezialschüler

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Ja, na klar. Sorry, kleiner Schreibfehler.

Gruß MSS

17.10.2006, 20:31

vektorraum

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@MSS: Vielen, vielen Dank für deine Hilfe - bin ich ja froh, dass ich es gecheckt habe Gott

17.10.2006, 21:42

Sunwater

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ich hab ja mal wieder die gleiche aufgabe und meine Lösung ist etwas komplizierter...
ich hab auch einfach mal bis n = 4 ausgerechnet und dann versucht ne Struktur zu erkennen und die in eine Formel zu packen.
Hier das Ergebnis:

seien $\begin{eqnarray*} k_i \end{eqnarray*}$ definiert durch:

$\begin{eqnarray*} k_1 = - \frac{1}{2} ~,~ k_i = - \left ( \frac{1}{(i+1)!} + \sum_{j=1}^{i-1}~ \frac{1}{(i-j)!}k_j\right ) \end{eqnarray*}$

dann ist die Lösung für das AWP:

$\begin{eqnarray*} y(x) = \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} + \sum_{i=1}^{n-1}~ \frac{x^{n-i}}{(n-i)!}* \left ( y_{n-i} + k_i \cdot x_0^{i+1} + \sum_{l=1}^{i-1} (-1)^l \frac{1}{l!} \cdot y_{n-i+l} \cdot x_0^{n-i+l}\right ) \end{eqnarray*}$

vielleicht kann man diese Gleichung noch vereinfachen?!

schön sieht sie nicht aus, aber es ist bis auf die k_i wirklich eine explizite Angabe der Lösung...

17.10.2006, 22:28

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Sunwater
$\begin{eqnarray*} y(x) = \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} + \sum_{i=1}^{n-1}~ \frac{x^{n-i}}{(n-i)!}* \left ( y_{n-i} + k_i \cdot x_0^{i+1} + \sum_{l=1}^{i-1} (-1)^l \frac{1}{l!} \cdot y_{n-i+l} \cdot x_0^{n-i+l}\right ) \end{eqnarray*}$

Ich nehme an, hier meinst du

$\begin{eqnarray*} y(x)=\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}+\sum_{i=1}^{n-1}\left[~\frac{x^{n-i}}{(n-i)!}\cdot\left(y_{n-i}+k_i\cdot x_0^{i+1}+\sum_{l=1}^{i-1}~\frac{(-1)^l}{l!}\cdot y_{n-i+l}\cdot x_0^{n-i+l}\right)\right] \end{eqnarray*}$

D.h. ja im Prinzip nichts anderes, als dass du für die $\begin{eqnarray*} c_i \end{eqnarray*}$ eine Formel gefunden hast, nämlich

$\begin{eqnarray*} c_{n-i}=y_{n-i}+k_i\cdot x_0^{i+1}+\sum_{l=1}^{i-1}~\frac{(-1)^l}{l!}\cdot y_{n-i+l}\cdot x_0^{n-i+l} \end{eqnarray*}$ .

Ob das stimmt, weiß ich nicht (hast du das mit Induktion bewiesen?), aber ich glaube kaum, dass man das noch stark vereinfachen kann.

Gruß MSS

18.10.2006, 08:07

Sunwater

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genau - ich hab mir nochmal nen extra Kopf über die c_i gemacht und die Formel raus, die bei dir steht
mit induktion hab ich's nicht bewiesen - hoffe einfach es stimmt.

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